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소믈리에, 지휘자, 음대 교수…
독특한 이력을 거치며 발견한 수학의 특별한 매력
수학에 신선한 감성을 불어넣는 어마어마한 수학 강의

입시와 상관없는 성인들이 수학을 배우려고 예약까지 해놓고 기다리는 곳이 있다. 바로 일본의 ‘나가노수학학원’이다. 130년 역사를 지닌 일본 최고의 경제지 《주간 동양경제》에서 ‘전국 3대 수학 학원’으로 선정되기도 했다. 이들을 수학의 세계로 이끈 ‘일타강사’ 나가노 히로유키(永野裕之)는 독특한 이력을 지녔다. 도쿄대학에서 물리학도의 길을 걷다가 그만두고, 음악 공부를 하러 오스트리아 빈으로 유학을 떠난다. 클래식 지휘자, 음악대학 강사, 레스토랑 경영, 와인 소믈리에 등 다양한 이력을 거치면서 그는 수학의 새로운 가치를 발견한다.
실제로 저자가 수학 강의를 진행하면서 ‘수학과 음악의 공통점’을 강조하기도 한다. 실제로 세상에는 아인슈타인, 히로나카 헤이스케와 같이 음악을 사랑한 수학자, 물리학자, 의학이나 수학 교수와 지휘자를 겸하며 활약하는 사람도 쉽게 찾아볼 수 있다. 수학과 음악은 공통적으로 아름다운 논리와 탁월한 감성을 필요로 하는 분야다. 음악만이 아니다. 수학은 복잡한 과학 법칙을 한 줄의 수식으로 설명해내는 매력을 가지고 있을 뿐만 아니라, 수학이 가르쳐주는 여러 사고방식은 인생을 사는 데 지침이 된다. 저자는 “수학과 상관없는 것은 아무것도 없다고 할” 현대사회에서 살아가려면 수학이 꼭 필요하다는 생각에, 개별 지도는 물론 방송과 글쓰기를 통해 사람들에게 수학의 ‘어마어마한’ 가치와 매력을 전하고 있다.
『어마어마한 수학』은 그가 그동안 해온 강의의 ‘알짜’를 만날 수 있는 책이다. 저자는 논리적 사고의 바탕이 되는 수학, 차가운 수식에 감춰진 천재 수학자들의 뜨거운 드라마, 감성에 호소하는 아름다움, 현대사회의 테크놀로지를 지탱하는 편리함, 역사를 바꾼 영향력, 우주를 설명하는 신비한 수식과 흥미로운 계산법 등 다양한 각도에서 수학의 가치와 매력을 보여준다.
피타고라스, 데카르트, 페르마, 라이프니츠, 오일러, 가우스, 칸토어 등 수학자들의 고민과 발견을 에피소드와 함께 흥미진진하게 소개하고, 그들이 만든 방정식, 함수, 미적분, 집합, 확률, 통계 등과 같이 수학사에서 일어난 큰 발전이 우리에게 어떤 의미가 있는지 실감 나게 전한다.
철학자이자 수학자인 버트런드 러셀은 “(인류가) 2월의 2와 2마리 꿩의 2가 같은 2라는 것을 깨닫기까지 수많은 세월이 필요했다.”라고 했다. 구체적인 예에서 본질을 추상화하는 고도의 지적 활동을 (수학을 싫어하는) 우리는 이미 일상적으로 하고 있는 것이다! 시험 성적에 연연하며 좁은 시야로 수학을 대했던 경험 때문에, 우리 자신의 지성을 과소평가하고 있는 것은 아닐까. 수학의 가치와 매력을 능숙하면서도 자상하게 소개하는 저자의 이야기를 따라가다 보면, 수학이라는 세계의 문이 활짝 열리는 경험을 할 것이다.

“수학을 즐기는 방식에 정해진 규칙은 없다”
천재 수학자들, 아름다움, 편리함, 영향력, 신비한 수식, 즐거운 게임,
당신을 사로잡을 수학의 매력은?

“우주는 수학이라는 언어로 쓰여 있다.”_갈릴레오 갈릴레이
“만약 수학이 아름답지 않았다면, 아마도 수학 자체가 탄생하지 않았을 것이다. 인류 최고의 천재들을 이 난해한 학문으로 이끄는 힘이 과연 아름다움 외에 있겠는가.”_표트르 차이콥스키
“수학은 어둠을 밝히는 빛인지라 대낮에는 필요가 없습니다만, 이런 세상에는 필요합니다.”_일본의 대표적인 수학자 오카 기요시

수학에 대한 유명인들의 찬사다. ‘수학의 매력은 천재들이나 느낄 수 있는 거 아닌가’라고 생각하기 쉬운데, 그런 편견을 저자는 태양이 나그네의 외투를 벗기듯 자연스럽게 깨뜨린다. 모두 6장으로 이루어진 이 책을 읽다 보면 유명인들의 이러한 찬사에 동의하지 않을 수 없기 때문이다.
‘수학이 도대체 무슨 소용이야’라는 의문을 떨치지 못하겠다면 ‘4장 어마어마한 편리함’과 ‘5장 어마어마한 영향력’을 먼저 살펴보자. 소 한 마리에 돌멩이 한 개를 대응시키는 ‘일대응대응’의 원리는 아주 단순해 보이지만, 그 원리를 바탕으로 좌표를 이용해 도형이나 그래프를 수식으로 설명하는 일이 가능하게 되었다. 또한 일대일대응을 사용함으로써 복잡한 문제를 단순한 문제로 변환할 수 있기 때문에 컴퓨터 알고리즘에도 자주 사용된다. 또한 ‘음수’ 개념이 없었다면 노이즈 캔슬링 이어폰이 탄생하지 못했고, ‘허수’ 개념이 없었다면 현대 과학기술의 토대인 양자역학도 존재할 수 없었다.
수학이 너무 딱딱하고 차가워서 꺼려진다는 이들에게는 ‘2장 어마어마한 수학자들’을 권한다. 수학사의 실타래를 풀어가다 보면, 뛰어난 재능 때문에 기인이나 괴짜라고 평가받은 수학자들을 만나게 된다. 평범한 사람들은 그 존재조차 알기 어려운 심오한 과제를 발견하고, 피나는 노력과 타고난 재능을 발휘하여, 그 과제를 해결하고 진리를 탄생시킨다. 저자가 소개하는 그들의 이야기를 따라가다 보면 수학은 인류가 끊임없이 이어온 ‘뛰어난 지혜의 결정(結晶)’임을 깨닫게 될 뿐만 아니라, 차가운 수식에 감춰진 뜨거운 드라마를 만나게 된다.
골라 보는 재미는 이뿐만이 아니다. ‘대칭성, 합리성, 의외성, 간결성’이라는 수학이 지닌 특성이 우리의 감성을 어떻게 자극하는지 알 수 있고, 마방진·만능천칭과 같은 두뇌 게임이 주는 즐거움을 맛볼 수 있다.

“음악을 즐기는 방식이나 요리를 맛보는 방식에 정해진 규칙이 없는 것처럼, 수학을 즐기는 방식에도 정해진 규칙은 없다. 어떤 분야라도, 어떤 방향부터 들어가도 수학은 어마어마한 매력을 발산한다.”(15쪽)

1,000명이 넘는 다양한 학생들을 지도한 노하우,
흥미로운 사례와 풍부한 그림으로
‘수학 알러지’를 잠재우다

이 책의 큰 장점이라면, 1,000명이 넘는 다양한 연령층의 사람들을 직접 가르친 저자의 경험이 녹아 있다는 것이다. 그는 사람들이 어떤 지점에서 수학을 어려워하는지 잘 알고 있다. 물론 어떻게 설명하면, 잘 이해할 수 있는지도 안다. 저자는 수학의 가치와 필요성을 내내 역설하지만, 강요된 공부가 아니라 각자 나름대로 즐거움을 발견하면서 몰두하게 되기를 기대한다. 그런 기대를 담은 저자의 배려가 책 곳곳에 녹아 있다.
책 시작 부분부터 흥미롭다. 저자는 난데없이 ‘요코하마에 머리카락의 가닥수가 정확히 같은 사람이 있을까?’라는 알쏭달쏭한 질문을 던진다. 그리고 숫자를 셀 걱정과 모호한 직관에 머물러 있는 우리의 사고를, 수학의 논리성을 이용하여 합리적으로 추론하는 단계로 끌어올린다.
대학생 때 친구와 잡담을 하다가 청바지 시장의 규모를 추정해 본 일화부터 시작해 자연스럽게 ‘페르미 추정’을 소개한다. 물리학자 엔리코 페르미가 대학 신입생들에게 낸 문제(‘시카고의 피아노 조율사는 몇 명인가’)를 함께 풀면서 수학의 감각과 문제해결력을 자연스럽게 익힐 수 있다.
도라에몽의 비밀 도구를 예로 들어 일대일대응과 함수를 설명하고, 조금 지루하다 싶을 만하면 ‘게임에 참여하겠습니까’라며 독자에게 도전장을 보낸다. 숫자 사기를 막아주는 방법, 이상적인 파트너를 만날 확률을 최대화하는 법, 프레젠테이션의 달인이 되는 법 등 생활 속 흥미로운 사례는 물론, 2차방정식을 도형으로 푸는 법, 어려운 공식을 ‘면적’으로 공략하는 법 등 각종 팁도 소개한다.
이 책에 담긴 에피소드 하나하나는 모두 독립되어 있으므로, 차례를 보고 원하는 곳부터 관심 가는 대로 읽어도 좋다. 자, 이제 당신 앞에 있는 ‘수학의 문’을 가볍게 밀어보자.

들어가며

1장 어마어마한 수식: 우주는 수학이라는 언어로 쓰여 있다
음수, 수학계에 일어난 최대의 패러다임 전환
1조라는 ‘양’을 떠올릴 수 있는가?
거듭제곱은 폭발적으로 증가한다
정수에는 다양한 캐릭터가 있다
소수는 아직도 해명되지 않았다

2장 어마어마한 수학자들: 차가운 수식에 감춰진 뜨거운 드라마
엘리트의 필독서 『원론』, 비밀에 싸인 유클리드
악마의 두뇌를 가진 남자, 그리고 게임이론
‘인도의 마술사’의 경이로운 아이디어
무한을 파악한 수학자의 어둠
불완전성정리를 증명한 완벽주의자

3장 어마어마한 예술성: 아름답지 않다면 탄생하지 않았을 것이다
수학의 아름다움은 내적 쾌감에 있다
피타고라스와 수비술
수학은 음악과 천문학이었다?
어서 오세요, 곡선 박물관입니다
아름다운 타일 속에 숨은 수학

4부 어마어마한 편리함: 현대사회의 테크놀로지를 지탱하다
일대일대응과 도라에몽의 비밀 도구
페르미 추정과 ‘대략’
숫자 사기를 막아주는 법칙
유익한 정보를 발견하는 법
통계가 국가를 바꿨다

5장 어마어마한 영향력: 세계사는 수학과 함께 발전했다
큰 수는 N진법으로 공략하라
네이피어 상수는 과학을 뒷받침한다
인류는 원주율을 탐구한다
허수와 양자 컴퓨터

6장 어마어마한 계산법: 수 감각을 키우는 비법
마방진으로 하는 두뇌 체조
만능 천칭을 아십니까?
양손을 전자계산기로 만드는 방법
두 자릿수의 곱셈을 암산으로 하기
‘+’, ‘-’, ‘×’, ‘÷’는 언제 태어났나?

마치며
참고문헌

거듭제곱의 효과로 급격한 변화가 일어나는 현상은 우리 주변에도 많이 있다. 그리고 이 변화의 정도에 놀라곤 한다. 그러나 그러한 극적인 변화를 지수함수라는 복잡하지 않은 초등함수(실제로 고등학교에서 문과 계열 선택자도 배우는 함수다)로 기술할 수 있다는 사실은 감동적이지 않은가?
인간이 수학을 만들어내기 훨씬 이전부터 존재한 자연현상이나 인간의 자유의지에 의한 사회활동이 단순한 수식으로 표현될 때마다 나는 수학의 힘, 수학의 재미를 느끼며 그 엄청난 가능성을 믿고 싶어진다.
_45~46쪽

왜냐하면 크로네커는 정수로 나타낼 수 없는 것이나 유한이 아닌 것은 생각할 만한 가치가 없다고 믿었기 때문이다. 정수의 분수(유리수)로 나타낼 수 없으며, 소수점 이하로 불규칙한 수가 무한히 이어지는 수 따위는 난센스라고 단언했다.
오늘날에는 중학생이 배우는 무리수를 150년 전 세계를 이끌었던 수학자가 인정하지 않았다는 사실은 참으로 놀랍다. 그 정도로 ‘끝이 없는 것’, ‘전체를 볼 수 없는 것’을 수학적으로 다루는 일은 어려우며, 용기가 필요한 일인 것이다.
_107쪽

우주의 보편적인 진실을 밝혀내는 것이야말로 수학자를 비롯해 과학자가 탐구하는 가장 근원적인 동기다. 그리고 보편적인 진실은 간결하며, 아름다울 것이라고 믿는다. 실제로 과거의 수학자들이 발견해온 정리와 공식은 간결한 경우가 많다.
그중 한 예를 살펴보자. 입체의 점, 변, 면의 수를 세어보면, 볼록다면체(오목한 부분이 없는 다면체)의 꼭짓점(vertex)의 수를 V, 모서리(edge)의 수를 E, 면(face)의 수를 F라고 하면 ‘V-E+F=2’라는 매우 간결한 수식이 성립한다. 이것을 오일러의 다면체 정리라고 한다.
이처럼, 복잡하게 보이지만 그 본질이 간결한 경우가 수학에는 적지 않다. 그리고 그 간결성이 보편적인 진실과 어우러져, 보는 사람이 아름다움을 느끼는 것이다.
_135~137쪽

고대국가에서 시작된 통계는, 확률론, 미적분, 선형대수 등의 수학과 컴퓨터의 발전에 힘입어 전수조사→기술통계→추측통계→베이즈 통계와 같이 발전해왔다. 2,000년 전에 뿌려진 씨앗이 수학과 기술의 진보로 오늘날 바야흐로 꽃을 피우고 있다고 할 수 있지 않을까.
현대사회에서는 통계라는 필터를 통해 수학이 판단과 예측의 근거가 된다. 숫자가 사회를 나타내며, 숫자가 사회를 바꾼다. 통계는 ‘수학 따위 어디에 도움이 될까?’라는 질문에 대한 하나의 답이다.
_233쪽

양자역학이 다루는 미시 세계에서는 우리 상식으로는 생각할 수 없는 일이 일어난다. 물질은 파동과 입자 양쪽의 성질을 지니며, 하나의 물질이 동시에 복수의 장소에 존재한다. 물질이 아무것도 없는 진공에서 생겨나거나 없어지기도 하며, 벽을 통과하기도 한다. 이러한 세계의 물리를 기술하기 위해 복소수는 없어서는 안 될 존재다.
양자역학은 현대 과학기술의 토대다. 양자역학이 없으면 스마트폰도 컴퓨터도 탄생할 수 없었다고 해도 과언이 아니다. 예를 들어 최근 화제인 ‘양자 컴퓨터’ 또한 그 이름처럼 양자역학의 이론을 응용해서 만들어진다. 지금까지의 컴퓨터는 ‘0’과 ‘1’로 계산을 진행하지만, 양자 컴퓨터에서는 ‘0’이기도 하고 ‘1’이기도 한 상태를 이용함으로써 엄청나게 빠른 계산이 가능해진다. 양자역학 없이는, 즉 허수 없이는, 인류는 현대 문명을 건설할 수 없었다고 말할 수 있다.
_282~284쪽

기호의 정의와 그것을 사용하는 규칙만 이해하면 오류가 없어진다는 뜻이다. 수학에서 기호를 즐겨 쓰는 이유다. 수학에서 사용하는 기호는 건조하고 차갑게 느껴질 수 있다. 하지만 모든 기호는 피가 흐르는 인간의 노력과 재능의 결정임과 동시에 그 기호를 통해 세계를 정확하게 이해하고 기술하려는 그들의 이상이 담겨 있다. 이런 생각으로 수학 기호를 바라본다면, 일상어와는 다른 특별함을 지닌 것으로 보이지 않을까.
_338쪽