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이토록 재미있는 수학이라니!

매미는 왜 7년, 13년, 17년 주기로 나타날까? 종이 규격의 가로와 세로 비율은 왜 에 가까울까? A4 용지를 몇 번 접으면 달에 갈 수 있는 두께가 나올까? 왜 하루는 24시간, 한 시간은 60분, 1분은 60초일까? 어느 모임에 참석한 사람들 가운데 생일이 겹치는 사람들이 있다는 쪽에 도박을 걸려면, 참석자는 몇 명 이상이어야 할까? 왜 바빌로니아인은 10이 아니라 60에 기초를 둔 자릿값 시스템을 선택했을까? 숫자 13이나 베드로가 잡은 물고기 153마리, 적그리스도의 숫자 666에는 어떤 수학적 속성이 있을까? … 수학의 무한한 매력을 드러내는 경이로운 이야기들.
몇몇 수들이 가진 놀라운 수학적 속성을 통해, 어렵고 힘들게만 느껴지는 수학이 실제로 얼마나 경이롭고 매력적인 학문인지를 보여주는 책. 무엇보다 술술 읽힌다. 그렇다고 깊이가 없다고 생각하면 오산이다. 이 책은 원과 면적이 같은 정사각형을 작도하는 법과 같이 수학자들을 오랫동안 괴롭혀온 악명 높은 난제들도 소개한다. 그럼에도 이 책을 읽는 데는 덧셈과 뺄셈, 곱셈과 나누기 외에 별다른 수학 지식이 필요하지 않다. 이 정도만 알아도 우리는 원과 면적이 같은 정사각형을 작도하는 것이 왜 불가능한지, 무한이 왜 하나가 아니라 무수히 많이 존재하는지 ‘이해’하게 된다.

“3년 동안 일요일마다”

보이텔슈파허는 아무리 어려운 이야기도 쉽고 재미있게 풀어가는 놀라운 재주가 있다. 수학에 흥미를 유발하는 수준이 아니다. 이 책을 읽어나가는 사이 독자들은 금광을 캐듯 학교에서 좀처럼 가르치지 않는 수의 본질적 속성에 눈뜨게 된다. 여러 자연수와 무리수, 소수, 음수, 분수, 소수점, 초월수, 허수, 무한(∞) 등에 관한 이야기를 따라가다 보면, 어느 순간 무미건조하게만 보이던 숫자들이 고유한 생명을 얻는다. 비유만은 아니다. 생존율을 높이기 위해 7년, 13년, 17년 등 소수 주기로 세상에 등장하는 매미와 피보나치수열을 해바라기 씨앗의 배열을 보라! 보이텔슈파허의 말마따나, 수는 세상을 여는 열쇠다!
경이로운 것은 수들의 속성만이 아니다. 수의 속성을 찾고자 하는 수학자들의 집념과 인내력도 경이롭다. 이를테면 수학자 구스타프 메르헤스는 이미 가우스에 의해 작도가 가능하다고 증명된 정65,537각형의 작도에 도전한다. 그는 그 일을 10년 만에 해낸다. 그리고 그 과정을 기록해 괴팅겐 대학에 논문으로 제출한다. 이런 논문을 쓴다는 것도 상상하기 어렵지만, 그 논문을 읽어 검증한다는 것도 상상하기 어렵다. “이 과업을 실행한 사람은 아직 없다.” (〈65,537: 궤짝 안의 수〉)
1903년 10월 31일 수학자 프랭크 넬슨 콜은 강단에 올랐다. 이미 소수가 아님이 증명되었지만 아무도 그 약수가 무엇인지 몰랐던 수 267-1의 약수를 자신이 발견했다는 것을 입증하기 위해서였다. 콜은 자리에서 일어나 먼저 왼쪽 칠판으로 가서 칠판 위쪽에 267-1이라고 적고 아무 말 없이 그 값을 칠판 위에 계산해갔다. 그런 다음 또 아무 말 없이 오른쪽 칠판으로 가서 193,707,721과 761,838,257,287을 계산했다. 꼼꼼하고 참을성 있게 계산한 끝에 콜은 왼쪽 칠판에 적혀 있는 수와 똑같은 수를 얻었다. 강연 내내 콜은 침묵했다. 그럼에도 청중은 기립박수로 이 강연에 경의를 표했다. 훗날 그는 그 약수들을 어떻게 찾아냈냐는 질문을 받고 이렇게 대답했다. “3년 동안 일요일마다.” (〈267-1: 말 없이〉)

왜 음수 곱하기 음수는 양수일까?

이 책은 음수나 , π 등 우리가 그냥 원래 그런 것이라고 자연스럽게 받아들이는 수들의 새로운 면모를 보여준다.
먼저 음수. “교수가 강의실 앞에 서 있다. 그는 학생 다섯 명이 강의실에 들어가는 것을 보고 얼마 후에 여섯 명이 나오는 것을 본다. 교수는 생각한다. ‘이제 한 명이 들어가면 강의실이 다시 텅 비겠군.’” 이 수학적 재담은 음수가 그렇게 간단히 취급할 수 있는 문제가 아님을 은연중에 드러낸다. 수천 년 동안 사람들은 음수를 받아들이기를 꺼렸다. 아무것도 없는 상태에서 또 무언가를 뺀다는 것을 상상하기가 어려웠기 때문이다. 그래서 1544년 저서 『종합 산술Arithmetica integra』에서 최초로 음수가 존재할 권리를 인정한 수학자 미하엘 슈티펠도 음수를 “터무니없는 수”라고 불렀다.
어려운 질문 하나. 음수 곱하기 음수는 왜 양수인가? 이를테면 (-1) 곱하기 (-1)은 왜 +1인가? 초등학교 저학년도 코웃음 칠 문제이지만, 그 이유를 설명해 보라면 대부분의 사람들은 눈을 동그랗게 뜨며 놀란 표정을 지을 것이다. 이에 대한 납득할 만한 설명은 19세기에 이르러서야 수학자 헤르만 항켈에 의해 이루어졌다. (〈-1: 터무니없는 수〉)
보이텔슈파허는 이 책에서 플라톤의 대화편 『메논』을 인용하여 가 등장하게 되는 순간을 설명한다. 그러고 나서 가 어째서 무리수인지 유클리드의 증명 방식을 보여준다. 증명 과정을 따라가는 것은 어렵지 않지만, 경탄이 절로 나온다. 마지막으로 “어떤 종이 전체와 그 종이의 4절지, 8절지, 16절지가 모두 닮은꼴이 되려면, 종이의 규격이 어떠해야 할까”라는 물음의 답에서 는 다시 등장한다. 는 우리의 일상생활 어디에나 있다. A4 용지는 이 아이디어에서 탄생한 것이기 때문이다. (〈: 탁월한 무리수〉)

π 값 알아내기

π의 근삿값이 3.14라는 것은 누구나 알고 있다. 하지만 그 값은 어떻게 구하는가, 라는 질문에 자신 있게 답변할 사람은 많지 않을 것이다.
그런데 π의 값은 왜 알아야 할까? 약 6,000년에 혁명적인 발명이 하나 이루어졌다. 바로 바퀴다. 바퀴 덕분에 엄청난 노력을 들여 조금씩 끌어 움직일 수 있었던 짐을 사람들은 수레에 실어 쉽게 옮길 수 있게 되었다. 그런데 바퀴를 제작하려면 그 둘레와 면적을 알아야 한다. 그래야 바퀴 제작에 필요한 재료의 양을 구할 수 있기 때문이다. 문제는 그 값을 정확히 계산하고자 할 때 그 문제가 영원히 해결되지 않는다는 것이다.
사람들은 그 값을 구하려면 지름에 특정한 수를 곱해야 한다고 생각했다. 그 특정한 수가 바로 π의 값이다. 세계 여러 곳에서 채택된 최초의 근삿값은 π=3이었다. 기원전 1900년에 바빌로니아인은 π= 25/8=3.125를 채택했다. 기원전 1650년 이집트의 린드 파피루스에는 π=(16/9)2?3.1605가 등장한다. 기원전 4세기에 인도 수학자들은 π=339/108?3.139를 채택했다.
그러고 나서 우리는 아르키메데스의 놀라운 사고의 전환을 만난다. “아르키메데스(기원전 288-212)의 연구는 수 π를 간단히 표현할 수 있다는 생각을 완전히 추방했다. 그는 이렇게 생각했다. ‘원의 둘레를 알아내기가 어렵다면, 원과 비슷한 다른 도형의 둘레를 알아내는 것을 첫걸음으로 삼자.’ 구체적으로 그는 원 안에 정육면체를 그려 넣었다.” 정육각형의 둘레는 원의 반지름의 6배, 바꿔 말해 지름의 3배이다. 이로부터 π가 3보다 크다는 결론을 얻을 수 있다. 마찬가지로 아르키메데스는 원을 둘러싼 정육각형을 그리고 그 둘레를 계산했는데 그 값은 약 3.46이다. 따라서 π는 부등식 3〈π〈3.46을 만족시킨다. 아르키메데스는 정육각형에서 멈추지 않고 각의 개수를 계속 두 배로 늘려 정96각형까지 그렸다. 그 값은 3.1408〈π〈3.14286이다.
이후 π의 근삿값을 더 정확하게 제시하는 것을 목표로 하는 경쟁이 시작되었다. 그렇다면 오늘날 π의 값은 어디까지 계산되었을까? π의 값은 1947년에 719자리까지 계산되었고, 1957년에 1만 자리, 1961년에 10만 자리, 1974년에 100만 자리, 1989년에는 10억 자리까지 계산되었다. 그 이후에 어디까지 나아갔는지는 책에서 확인하기 바란다. 그렇게 구한 π 값에는 어떤 실용적인 가치가 있을까? 하나도 없다! 나사가 우주선의 궤도를 계산할 때 사용하는 π의 값은 겨우 15자리에 불과하기 때문이다. 그렇다면 수학자들은 도대체 무슨 생각으로 그런 계산에 매달리는 걸까?

해외 서평

이 책은 모든 수가 세상을 여는 열쇠임을 증명한다. 환상적인 책이다! -벨트 암 존탁

고등학교 졸업 이후 속도계나 영수증의 숫자만 봐온 사람들도 부담 없이 즐길 수 있는 경쾌한 수학책. -프랑크푸르터 알게마이네 차이퉁

수학을 성공적으로 가르치려면 역사적 맥락이 뒷받침된 광범위한 전문 지식만이 아니라 수학 문외한이 스스로 생각하도록 고무하는 즐거움이 있어야 한다. 알브레히트 보이텔슈파허는 이 두 가지를 모두 갖추고 있다.- 노이에 취르허 차이퉁

서문
1 하나일 수밖에 없어
2 차이를 만들어내는 수
3 최초의 전체
4 방향을 대표하는 수
5 자연을 대표하는 수
6 자연의 형태
7 존재하지 않는 수
8 타협 없는 아름다움
9 따분한 수?
0 무의 상징
10 합리성을 대표하는 수
11 은밀히 활동하는 수
12 전체는 부분들의 합보다 크다
13 야생의 수
14 B+A+C+H
17 가우스 수
21 토끼와 해바라기
23 역설적인 생일의 수
42 모든 질문의 답
60 최선의 수
153 물고기의 수
666 동물의 수
1,001 손에 땀을 쥐게 하는 수
1,679 외계인 탐사를 상징하는 수
1,729 라마누잔 수
65,537 궤짝 안의 수
5,607,249 오팔카 수
267-1 말없이
-1 터무니없는 수
2/3 분할된 수
3.125 간단하지만 천재적인
0.000… 무의 숨결
탁월한 무리수
정육면체 배가하기
φ 황금분할
π 비밀 많은 초월수
e 성장을 대표하는 수
i 수학에 허구를 도입해도 될까?
∞ 모든 것보다 더 큰
그림 출처

지구에 사는 모든 사람에게 1번부터 차례로 번호를 매긴다고 해보자. 그러면 그 마지막 번호는 80억보다 작을 것이다. 우리는 그 번호 각각을 이진수로 나타내면, 총 33개의 0들과 1들로 이루어진 수열을 얻게 된다. 따라서 우리는 그 수열의 각 자리(비트)에 어떤 숫자가 있는지를 물을 수 있다. 첫째 비트(이를테면, 맨 오른쪽 자리)는 1인가요? 둘째 비트는 1인가요? 이런 식으로 33개의 비트가 무엇인지 묻고 대답을 들으면, 한 번호를, 따라서 한 사람을 특정할 수 있다. -〈2: 차이를 만들어내는 수〉, 25쪽.

어느 모임에 참석한 사람들 가운데 생일이 겹치는 사람들이 있다는 쪽에 도박을 거는 것이 합리적이려면, 참석자가 얼마나 많아야 할까? 이 문제는 1930년대에 오스트리아 수학자 리하르트 폰 미제스(1883-1953)가 최초로 낸 것으로 보인다. 이 문제와 정답은 빠르게 퍼져나갔고 얼마 지나지 않아 “생일 역설”이라는 명칭을 얻었다. 왜냐하면 정답이 수학자들이 보기에도 놀랍기 때문이다. 정답은 23명이다. -〈23: 역설적인 생일의 수〉, 115쪽.

종잇장의 두께는 약 0.1밀리미터이므로, 종이를 세 번 접었을 때의 두께는 거의 1밀리미터에 달한다. 네 번 접으면 종잇장 16개가 포개지고, 다섯 번 접으면 32개, 10번 접으면 1,024개가 포개진다(그리고 두께는 약 10센티미터에 이른다!) 42번 접으면, 포개진 종잇장의 개수가 2=4,398,046,511,104에 달할 것이다. 종잇장 각각의 두께가 0.1밀리미터이므로, 이 종잇장 더미의 총 두께는 약 43만 9,804킬로미터, 달까지의 거리보다 더 두껍다. 따라서 종이를 42번 접으면 달에 도달할 수 있다! -〈42: 모든 질문의 답〉, 122-123쪽.

4,000여 년 전에 오늘날의 이라크 땅인 메소포타미아에서 누군가가 천재적인 발상을 했다. 그가 누구였고 동기가 무엇이었는지 우리는 모르지만, 또 정확히 언제였는지도 모르지만, 그 미지의 인물은 인류의 역사에서 가장 중요한 깨달음 중 하나에 이르렀다. 그의 발명이 없었다면, 기술도 없고, 정량적 과학도 없고, 건축도 없고, 도시 계획, 경영학, 경제학도 없을 것이다. 그 발명을 일컬어 “자릿값 시스템”이라고 한다. -〈60: 최선의 수〉, 124쪽.

하디는 1917년에 만사가 시들해진 병자 라마누잔을 방문했다. 라마누잔이 인사를 마치고 병상에 눕자, 하디는 아마도 가벼운 농담으로 분위기를 살리려고, 방금 자신이 타고 온 택시의 차량번호가 아주 따분한 수인 1729였다고 말했다. 그러자 라마누잔이 그를 바라보며 외쳤다. 아마도 라마누잔의 얼굴에 화색이 돌았을 것이다. “아냐, 1729는 따분한 수가 전혀 아냐. 1729는 세제곱수 두 개의 합으로 나타내는 방법이 두 가지인 가장 작은 수니까!”- 〈1,729: 라마누잔 수〉, 152쪽.