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미 명문사립 세인트앤스스쿨 현직 수학교사가 쓰고,
수포자를 위해 하버드대학교 출판사에서 펴낸 산수책!

수학 강국이라고요? 수포자는 웁니다
우리나라는 수학 강국이다. OECD에서 실시하는 국제학업성취도평가(PISA)의 수학 분야에서 3위 안에 들 정도로 실력이 수준급이다. 그러나 ‘수학을 좋아하는가?’, ‘수학시간이 기다려지는가?’ 등을 묻는 정성평가에서는 평균에도 미치지 못한 바닥 지수를 보인다.
실제로 우리 주변을 둘러봐도 이 같은 상황은 쉽게 짐작된다. 학생이고 성인이고 대부분 왜 해야 하는지 모른 채 16년간의 ‘지옥 같은’ 수학을 경험하고 기억한다. 입시와 취직 때문에 또는 논리적인 사고를 갖기 위해서 등 현실적이고도 교과서적인 이유는 동기부여가 되지 못한다. 결국 대부분이 시기만 다를 뿐 언젠가는 수학을 포기하고 만다. 수학 강국이라면서 수포자가 넘쳐나는 셈이다.
포기하면 편하다는데, 불안하고 아쉬워 다시 수학책을 펼쳐본다. 요즘에는 수학에 대한 흥미를 되찾으려는 학생들, 처음부터 제대로 수학을 배워보고 싶어 하는 성인들이 점점 늘어나고 있다. 이들에게 딱 맞는 책이 나왔다!

공부는 됐고 숫자놀이를 해봅시다!
실생활에서 필요한 사칙연산은 계산기로 가능하고, 복잡한 공식은 평생 쓸 일도 없다. 그래도 수학을 포기할 수 없다면 ‘공부’가 아닌 ‘놀이’로 접근하면 어떨까? ‘수학’이 아닌 ‘산수’로 처음부터 다시 시작해보면 어떨까? 신간 『숫자 갖고 놀고 있네』가 전하는 메시지다.

“하지만 우리가 계산원이 되려고 이 책을 읽고 있는 건 아닙니다. 우리가 산수와 그에 담긴 철학을 배우는 이유는 계산 능력을 키우기 위해서가 아니라 세상을 바라보는 시야를 넓히기 위해서입니다. 내가 산수를 즐기는 것도 바로 그 때문입니다. 그런데다 재미까지 있어요.”(86쪽)

“무작정 외우는 건 단언컨대 좋은 공부법이 아닙니다. 가장 좋은 방법은 그저 숫자를 최대한 많이 가지고 노는 겁니다. 그러면 패턴은 경험을 통해 저절로 습득됩니다. 그 과정에서 이리저리 헤맬 수도 있겠지요. 괜찮습니다.”(94쪽)

수학공식을 외우고 정답을 찾느라 스트레스 받는 대신, 산수의 기본으로서 숫자 자체를 다양한 방식으로 가지고 놀다 보면 흥미가 생기고, 스스로 습득되며, 나아가 세계관이 확장된다는 것이다. 정말? 믿어도 될까?
믿어도 된다. 이 책의 저자 폴 록하트는 미국의 명문사립 세인트앤스스쿨의 수학교사이며, 이 책 또한 하버드대학교 출판사에서 출간했다. 저자는 우리가 지금껏 수학을 ‘당연한 것’으로 받아들여 왔다면서 그러한 당연함을 낯선 시선으로 바라본다. 인간이 어떤 역사적 여정을 거쳐 현재의 수 체계를 사용하게 되었는지를 살펴보고, 거기에 담긴 철학적, 문화적 의미가 무엇인지를 탐구한다. 또한 사칙연산과 분수, 음수, 경우의 수, 계수기 등에 얽힌 이야기를 풀어가며 복잡한 공식의 늪에 빠져 흥미를 잃었던 수포자에게 수학의 진정한 재미를 되돌려준다.

산수, 가장 단순한 수학 이야기
『숫자 갖고 놀고 있네』의 원제는 ‘Arithmetic’, 즉 산수다. 수학의 출발선인 산수에서 공부가 아닌 놀이로 다시 시작하기 위해서다.

“말하자면 산수는 수학으로 나아가기 위한 하나의 관문입니다. 그러니 온갖 멍청하고 말도 안 되는 실수를 해가며 숫자를 가지고 놀아보세요. 저도 매일 그러고 있습니다!”(151쪽)

저자는 전하는 숫자 이야기는 흥미로우면서도 깊이가 있다. 1부에서는 인류가 처음으로 숫자라는 개념에 눈을 뜨게 된 이유, 다양한 수 체계의 표현방식, 서로 다른 숫자 언어가 통역되고 통일되는 과정을 설명한다. 저자가 만들어낸 세 원시부족(손 부족, 바나나 부족, 나무 부족) 사례가 이해를 돕는다.
2부에서는 역사의 흐름에 따라 이집트의 상형문자, 로마자, 한자, 인도-아라비아 숫자에 대해 설명하며, 수백 수천 년 전으로 돌아가 각 언어권의 계산법으로 셈을 해본다. 돌멩이, 타불라(로마시대 계산기), 주판 등으로 큰 수를 더하고 빼다가 인도-아라비아 숫자로 할 때면 현재 우리가 얼마나 편리한 방식으로 셈을 하고 있는지 새삼 고마울 따름이다.
마지막으로 3부에서는 곱셈, 나눗셈, 분수, 음수, 경우의 수를 설명한다. 단순히 정확한 답을 얻어내기 위한 계산이라면 ‘다 아는 걸 왜 이렇게 복잡하게 설명할까’ 싶기도 하다. 그러나 각각의 계산법이 존재하는 이유와 그 계산 과정에서 무슨 일이 어떻게 벌어지는지를 보면서 수학의 매력에 깊이 빠져들게 된다. 자동차 운전보다 작동원리에 더 관심이 있는 사람이라면 말이다.

수학이 어렵다면 산수로 시작하자
“영수증이나 세금 계산서에 총 얼마가 찍혔는지 알고 싶을 뿐이라면 그냥 계산기를 쓰세요. 나라도 당연히 그럴 겁니다. 누구든지 원하지 않는 한 산수를 깊이 이해할 필요는 없습니다. 하지만 어떤 일이든 원리를 제대로 이해하지 않고서는 만족감을 느낄 수 없는 경우가 있습니다. ‘페달에 발을 올렸을 뿐인데 자동차가 스스로 움직이다니, 도대체 어떻게 그런 일이 가능하지? 자동차로 슈퍼마켓이나 왔다 갔다 하느니 차라리 분해해버릴까’라는 생각이 든다면 그때는 파고들어야 해요.”(217쪽)

어느 독자가 말했듯이 이 책의 어떤 것도 당신의 머리를 넘어서지 않는다. 더하고 빼고 곱하고 나누는 법을 한 권의 책으로 공부하는 사람이 어디 있겠는가. 분수와 음수의 계산, 경우의 수, 진법 변환 정도는 조금만 기억을 더듬어보면 쉽게 알 수 있다. 그러나 어릴 적 머릿속에 욱여넣은 공식과 지겹도록 반복했던 계산을 ‘놀이’라는 관점에서 다시 보면 숫자가 주는 재미와 산수의 아름다움을 발견할 수 있을 것이다. 이를 통해 수학에 대한 흥미를 다시 찾아보자.

키스 데블린
저자에 따르면 손으로 직접 계산하는 번거로움으로부터 해방됨으로써 인류는 한 발짝 뒤로 물러나 수천 년이 넘는 산수의 발전사를 되돌아볼 수 있게 되었다. … 저자는 숫자에 얽힌 다양한 이야기를 아주 매력적으로 풀어내고 있다. (『수학으로 이루어진 세상』 저자)

배리 머주어(하버드대학교 교수)
산수가 주는 놀라운 기쁨을 느껴보고 산수의 역사적 기원을 깊이 이해하는, 이 열정적이고도 흥미로운 여정으로 여러분을 초대한다! 놀라울 정도로 독창적이고, 무엇보다 재미있다. (『허수』 저자)

안드레아 탈리리타(문화비평매거진 팝매터스 평론가)
책을 읽기 시작하는 그 순간부터 감동 그 자체였다. 우리가 계산을 하고 숫자를 이해하는 방식이 얼마나 임의적인 것인지를 드러냄으로써 저자는 그에 관한 익숙하고도 근본적인 가정을 완전히 해체한다. 수학에 문외한인 사람들에게 이 책은 기분 좋은 놀라움을 선사할 것이다.

제인 글리슨 화이트
영감과 정보를 동시에 주는 유익한 책. 널리 추천하고픈 책!

조너선 키츠
숫자 세기부터 곱셈, 분수에 이르기까지, 숫자를 다루는 다양한 과정을 섬세하게 이해할 수 있도록 도와주며, 우리가 오랫동안 암기식 공부법에 의해 기계적으로 습득해온 산수를 진정한 이해의 길로 이끌어준다. 저자에 따르면 산수는 뜨개질과 같은 즐거운 취미활동이다.

사이언스 뉴스
단순히 산수 기술을 가르쳐주는 책이 아니다. 이 재미난 책을 통해 우리는 수 체계에 대한 철학적 접근법과 수학의 아름다움을 경험해볼 수 있다.

아마존 서평
- 모든 수학의 영역들이 패턴을 이해하는 기술이라는 점에서 어떻게 들어맞는지를 아름다운 정도로 단순하게 설명한다.
- 이 책은 모두를 위한 책은 아니다. 그러나 만일 당신이 숫자를 즐긴다면, 즉 숫자가 ‘느끼는’ 방식과 그것들이 만드는 패턴을 즐긴다면, 이 책은 바로 당신을 위한 책이다.
- 기초학문을 배우는 모든 대학생들이 이 책을 사서 읽었으면 한다.
- 저자는 훌륭한 작가이면서 수학을 사랑하는 사람이다. 이 조합으로 인해 그의 수학 글쓰기는 중독성이 강하다. 분명한 예를 제시하고 유머를 곁들이는 방식이 나는 좋다.
- 대단한 책이다. 교사든 학생이든 모든 독자층을 감안한 실질적이고 단순한 글쓰기가 돋보인다.
- 재밌게 읽었다. 쉽게 읽히고 따라갈 수 있었다. 생각하고 이해해야 할 거리들이 많다. 나 같은 수포자에게 매우 좋은 책이다.
- 재밌고 읽기 쉽다. 게다가 분량까지 딱이다. 어떤 것도 당신의 머리를 넘어서지 않는다. 숫자란 무엇인가에서 시작한다. 당신이 수학 책을 읽지 않는 사람이라면 이 책으로 시작하면 좋을 것이다.

들어가며 - 숫자로 하는 뜨개질

1부 세상에서 가장 재밌는 놀이
1장 사물: 산수에 눈뜨다
수를 헤아리는 이유 | 어떻게 비교할까? | 산수라는 기술을 발명하다
2장 언어: ‘셋’은 왜 ‘3’인가?
꼬리와 털이 없는 고양이 | 손 안의 정보 | 숫자는 원래 모습이 없다
3장 반복: 지루한 건 못 참아
탤리 마크와 울타리 만들기 | 다섯으로 묶을까? 열둘로 묶을까? | 묶고 또 묶다
4장 세 부족: 숫자도 통역이 필요해
바나나 바-나-나-나 개 주세요 | 산수도 통역이 되나요? | 좋은 숫자는 대체물이 필요하다 | 산수란 바로 이런 것! | 예쁘게 배열해보자 | 숫자와 놀다가 무릎을 탁 치고 갑니다

2부 옛사람들은 숫자로 무엇을 했을까?
5장 이집트: 돌멩이에서 동전으로
어쩌다 십으로 묶었을까? | 계산용 동전을 발명하다 | 만일 동전 하나가 사라진다면? | 상황과 목적에 따라 다르게
6장 로마: 제대로 된 숫자놀이를 시작해볼까?
쌓아 올리지 않아도 괜찮아 | 로마 숫자에 관한 흥미로운 이야기 | 배에 화물을 모두 실을 수 있을까? | 계산기를 조심해! | 돌멩이 갖고 놀고 있네
7장 중국과 일본: 소매 주머니 속 계산기
아주 대담한 해결책 | 이렇게 간단한 것을! | 주판을 배울래? 타불라를 배울래? | 주판을 놓아보자!
8장 인도: 자릿값을 가진 숫자
수 체계를 만드는 기준 | 산수를 배우는 이유 | 아라비아 숫자의 탄생 | 머릿속 계산기를 사용하다 | 외우지 말고 놀자 | 익숙해지면 재밌어진다 | 더하고 정리하기 | ‘없음’이라는 기호의 발명 | 머리 좀 잠시 빌리겠습니다 | 숫자로 바느질을 해보자 | 나만의 계산법을 만들어보자 | 뺄셈을 할 때 머릿속에서 일어나는 일 | 약간의 연습만으로도 쉽고 즐거워진다 | 받아내림이 불가능한 경우 | 더하고 빼는 데 정해진 규칙은 없다
9장 유럽: 단순한 게 좋아
유럽에 전해진 힌두-아라비아 십진법 | 도량형을 십진법에 맞게 통일시키다 | 영국의 복잡하고 짜증나는 단위 체계 | 도저히 못 해먹겠네! | 일관성이 있으면 좋은 점 | 십이라는 숫자 자체는 전혀 특별하지 않다

3부 산수를 알면 수학이 재밌어진다
10장 곱셈: 더하다가 밤새우기 전에
자릿값 체계, 정말 필요해? | 숫자 배치의 예술 | 두 배하기가 제일 좋아 | 중요한 건 결국 비교일 뿐 | 다른 어떤 도구도 없이 기호만으로 곱셈하기 | 고대 이집트 숫자로 곱셈을 | 틀려도 상관없으니 즐겨라 | 곱셈의 대칭성은 보편적이다 | 분배법칙을 활용하면 쉬워진다 | 합의 배수는 배수의 합과 같다 | 많이 쓰는 데에는 이유가 있다 | 유효숫자를 적극 이용하자 | 복잡한 계산도 간단하게 | 좀 더 효율적으로 | 패턴에 익숙해지면 어렵지 않다 | 선호 방식은 각자 알아서 | 바나나 부족의 곱셈 | 4진법의 곱셈쯤이야 식은 죽 먹기 | 예상치를 먼저 생각하면 계산이 쉬워진다
11장 나눗셈: 효율적인 분할과 ‘나머지’의 등장
산수라는 연극무대에서 중요한 것 | 곱셈에게도 짝을 만들어주자 | 나누기의 매력은 ‘나머지’ | 곱셈아 도와줘! | 어쨌든 나누기는 했지만 | 좀 더 간단하게 할 수 없을까? | 복잡한 계산은 이렇게 하자 | 소수점 이하 숫자 나누기 | 더 정확하게 나눠야 할 때
12장 기계: 계산기가 있는데 왜 산수를 배울까?
단순히 숫자만 세는 일이라면? | 숫자 세는 기계를 만들어볼까 | 숫자 바퀴의 다양한 버전 | 살아있는 계수기 | 모든 것이 기계와 닮았다 | 휴대용 계산기의 탄생 | 이 시대에 산수를 한다는 것
13장 분수: 드디어 산수의 재미에 빠져들다
그렇다면 산수는 골동품이 되었나? | 고대 이집트인은 분수를 어떻게 표기했을까? | 힌두-아라비아 식으로 간단하게 써보자 | 본질적으로 자연수와 다르지 않다 | 어떻게 쓰느냐는 선택하기 나름 | 십진법에 맞추기로 합시다 | 야구장의 할, 푼, 리 | 완벽한 측정은 불가능하다 | 두 분수를 어떻게 비교할까? | 십진법과 근삿값만으로 부족하다면? | 공통분모를 만들어 간단히 해결 | 공통분모 찾는 법 | 분수의 덧셈과 뺄셈도 간단하게 | 상황에 따라 다르게 표현한다 | 분수의 곱셈을 해보자 | 분수의 나눗셈을 해보자 | 역의 관계는 대칭적이다 | 모든 수를 파괴하는 곱하기 0 | 분수의 계산, 전혀 어렵지 않다!
14장 음수: 영보다 작은 수를 발명하다
수학자가 보는 세상 | 숫자를 보는 방식이 다르다 | 수학자에게 숫자는 햄스터와 같다 | 덧셈과 곱셈만의 특권 | 수학 세계라면 가능하다 | 음수의 발명 | 뺄셈 부호와 음수 부호의 차이 | 음수의 곱셈을 이해하려면 | 두 번 뒤집으면 결국 원위치
15장 셈의 기술: 계산보다 중요한 것
아름답게 세는 방법 | 수학적으로 점을 세어보자 | 계산이나 답은 중요하지 않다 | 가상의 목록 기법 | 약간의 정신노동이 필요하다 | 국기 그리기 | 수학적 통찰이 필요한 이유 | 좀 더 복잡한 문제 | 도넛을 상자에 넣어보자 | 가림막을 세워라

나오며 - 수학적 아름다움을 발견하라

“이 정도면 충분하겠지”
“이렇게 많은데 다 들어갈까”
“전엔 더 많았던 것 같은데……. 다 어디 간 거야”
이럴 때 필요한 건 결국 비교입니다. 그러니 우리에게 슬쩍 보기만 해도 두 집합 중 어느 것이 더 큰지를 알 수 있는 능력이 있다면 얼마나 좋을까요? 후각이나 미각처럼 일종의 ‘숫자 감각’이 있다면 말입니다. 우주 어딘가에는 이런 숫자 감각을 갖춘 생물이 존재할지도 모릅니다. 실제로 가끔 그런 인간(보통 사고를 당해 신경이 심각하게 손상된 사람들)이 나타나기도 하고요. 하지만 우리들 대부분의 숫자 감각은 생각보다 상당히 둔합니다. 예를 들어, ‘셋’까지는 누구나 일일이 세지 않고도 쉽게 인식할 수 있지만, 여섯이나 일곱만 넘어가도 슬슬 헷갈리기 시작합니다. _「1장 사물: 산수에 눈뜨다」중에서, 18쪽

그렇다면 묶음의 크기는 어떻게 결정될까요? 어떤 묶음이 좋은지를 결정하는 요소는 무엇일까요? 물론 이건 세고자 하는 대상이 무엇인지, 해당 정보를 누구에게 전달하려고 하는지, 그리고 무엇보다도 숫자가 어디까지 커질 것인지에 따라 다릅니다.
세려는 대상이 몇 개 안 될 때, 예컨대 그동안 모은 마블 피규어가 몇 개인지를 셀 때는 여러 묶음으로 나누든 말든, 한 묶음의 크기가 얼마큼이든 별 상관이 없습니다. 반면에 다루려는 수가 아주 크다면 적절한 묶음의 크기를 신중하게 선택해야 합니다.
크기가 너무 작으면, 예컨대 두 개나 세 개를 한 묶음으로 하면 집단화의 목적 자체를 달성하지 못하는 사태가 벌어집니다. 숫자가 커지다 보면 어느 순간 묶음의 개수 자체도 너무 많아지기 때문입니다. 그러면 결국 그 수를 한눈에 알아볼 수 없게 됩니다. 자, 이제 여러분은 또 다시 한 차원 높은 인식의 문제에 직면하였습니다. _「3장 반복: 지루한 건 못 참아」 중에서, 33-34쪽

다만 숫자가 계산 외에 다른 목적으로 사용되는 경우가 있습니다. 예를 들어, 숫자는 이름표로 쓰기에 아주 편리합니다. 책의 목차나 집 주소에 쓰는 숫자는 계산 목적이 아니라 이름표로서 쓰인 것입니다. 이 집 주소와 저 집 주소를 더해볼 사람은 없을 테니까요. 여섯을 VI로, 넷은 IV로 표기하는 관행은 이런 이름표를 가능한 한 짧게 만들기 위한 방편으로 13세기에 와서야 널리 퍼졌습니다. 로마인들은 이런 식의 표기를 거의 하지 않았으며 더욱이 계산의 목적으로는 그 누구도 전혀 쓰지 않았습니다. _「6장 로마: 제대로 된 숫자놀이를 시작해볼까?」중에서, 65쪽

그러므로 숫자에 능통해지고 싶다면 작은 숫자들을 자유로이 가지고 놀며 이들이 다양한 크기의 묶음으로 변환되는 과정에 익숙해져야 합니다. 인도-아라비아 수 체계에서라면 그중에서도 십의 묶음이 가장 중요함은 물론이겠지요. 이렇게 숫자를 기발하게 배열하는 방법들을 이리저리 고민하다 보면 묘한 재미와 만족감도 느낄 수 있습니다. 예를 들어 7, 8, 5, 4, 3, 2를 모두 더해야 하는데, 7의 짝은 3이고 8의 짝은 2라는 사실을 눈치 채면 은근히 기분이 좋습니다. 이제 나머지 4와 5만 더하여 쉽게 29를 도출할 수 있으니까요. 사실은 이십구라는 단어 자체에 이렇게 짝을 찾아 묶는 과정이 내포되어 있습니다. 이십은 그 자체로 십의 묶음이 두 개 있다는 뜻이기 때문입니다. _「8장 인도: 자릿값을 가진 숫자」 중에서, 96쪽

인도-아라비아 숫자의 장점으로 여러 가지(종이와 펜만 있으면 어디서든 쉽게 계산할 수 있고 비용이 거의 들지 않는다는 등)를 꼽을 수 있겠지만 나는 가장 중요한 가치가 바로 여기에 있다고 생각합니다. 동전이나 기호를 바꿀 필요도, 돌멩이를 이 줄에서 저 줄로 옮길 필요도 없습니다. 숫자들이 마치 종이 위에서 춤을 추듯 자리를 옮길 뿐입니다. 인도-아라비아 숫자가 로마 숫자를 정복하고 세계적으로 쓰이게 된 이유도 바로 이것이었습니다.
이처럼 숫자를 자리 옮기기의 관점으로 보면 20, 500, 3000과 같은 숫자는 완전히 새롭게 다가옵니다. 이 숫자들은 한 자릿수, 2, 5, 3과 전혀 다를 바가 없습니다. 예를 들어 500은 사실 5(백)입니다. 당연히 레몬 다섯 개와 레몬 오백 개가 똑같다는 말은 아닙니다. 하지만 두 수는 모두 특정 자릿값이 다섯 개 있음을 의미합니다. 어떤 자리인가의 차이만 있을 뿐입니다. _「10장 곱셈: 더하다가 밤새우기 전에」 중에서, 159쪽

마찬가지로 영수증이나 세금 계산서에 총 얼마가 찍혔는지 알고 싶을 뿐이라면 그냥 계산기를 쓰세요. 나라도 당연히 그럴 겁니다. 누구든지 원하지 않는 한 산수를 깊이 이해할 필요는 없습니다. 하지만 어떤 일이 든 원리를 제대로 이해하지 않고서는 만족감을 느낄 수 없는 경우가 있습니다. “페달에 발을 올렸을 뿐인데 자동차가 스스로 움직이다니, 도대체 어떻게 그런 일이 가능하지? 자동차로 슈퍼마켓이나 왔다 갔다 하느니 차라리 분해해버릴까”라는 생각이 든다면 그때는 파고들어야 해요.
산수도 마찬가지입니다. 나는 산수가 그 자체로서 궁금합니다. 또한 수학자이기 때문에 추상적인 존재로서 그리고 구체화된 존재로서의 숫자를 더 잘 이해하고 싶습니다. 내가 어떤 문화적 선택의 결과에도 영향을 받지 않고 가능한 한 최대한 유연한 입장을 견지하고자 했던 것도 바로 이 때문입니다. 빠르고 정확하고 싸고 가벼운 전자계산기의 편리함이 아니라, 산수에 대한 추상적인 이해에서 나오는 지적이고 창의적인 시각을 갖추고 싶었어요. 이제 지루하고 기계적인 일은 기계에게 맡기고, 나의 정신에게는 상상과 재미로 가득한 일, 말하자면 수학 같은 것을 할 수 있는 자유를 선물해도 되겠지요? _「12장 기계: 계산기가 있는데 왜 산수를 배울까?」 중에서, 217-218쪽