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벡터는 물론 함수, 극한, 미적분까지
‘물리’와 ‘수학’ 둘 다 잡는, 신개념 물리수학책!

학교에서 배웠어도 잘 알지 못하는 ‘물리’를 ‘수학’으로 쉽게 이해한다. 학창시절 대개 수학을 포기하면 대부분 물리도 함께 포기하는데, 이 책은 물리와 수학 둘 다를 놓치지 않도록 이끈다.
벡터는 물론 함수, 극한, 미적분 등 물리를 이해하는 데 꼭 필요한 수학 개념이 알기 쉽게 설명돼 있어 고등학생과 이공계 대학생에게 한 줄기 빛이 돼줄 것이다. 또한 4차 산업혁명 시대를 대비해 관련 지식을 습득하고 있는 사람이라면 물리와 수학을 함께 배울 수 있는 이 책을 꼭 살펴보기 바란다.

책 소개
《통계가 빨라지는 수학력》《수학력: 수학 본능을 깨우는 7가지 발상법》등으로 쉽고 재미있게 ‘쓸모 있는 수학’을 알려주는 것으로 유명한 나가노 히로유키가 이번에는 물리, 과학에 필요한 수학 책을 출간했다. 이 책은 학창시절에 뭣 모르고 배웠던 수학 개념이 물리에 어떻게 활용되는지 알려준다.
수학 공식 따로, 물리 공식 따로 외우는 공부는 ‘수포자(수학포기자)’, ‘물포자(물리포기자)’만 늘릴 뿐이다. 물리와 수학은 단순히 ‘이렇게 된다고만 알아둬’ 식의 공식 암기만으로는 실력을 키울 수 없다. 내용을 이해해야 복잡하고 어려운 문제도 술술 풀린다. 수학, 특히 미적분과 물리는 떼려야 뗄 수 없는 관계다. 그래서 수학과 물리의 연결고리를 찾아내면 누구나 언제든 수포자, 물포자에서 탈출할 수 있다.
독자 여러분은 이 책을 통해 수학이 왜 물리의 바탕이 되는지 깨달을 것이다. 미적분이라는 수학 개념이 뉴턴의 운동법칙을 어떻게 설명하는지, 또 극한과 미분계수가 순간속도를 어떻게 구하는지 이 책에서 확인해보자. 저자는 가속도, 원심력, 역학적 에너지 보존법칙, 운동량 보존법칙, 단진동 등의 물리 개념을 수학과 함께 설명해 독자의 이해도를 높여준다. 특히 ‘미적분을 알아야 물리가 쉬워진다’고 말하면서, 미적분이라는 단어만 봐도 거부감을 드러내는 독자들에게 기초가 없어도 진도를 따라갈 수 있는 특유의 학습법으로 수학과 물리의 세계로 인도하고 있다. 일반적인 물리수학책들은 보통 한두 번 설명하면 끝인데, 이 책은 중요한 공식을 계속 반복해서 다시 보여줌으로써 저절로 복습하게 만드는 게 특징이다.

출간 의의 및 특징
최근 서울대학교 공과대학 입학생 절반 정도가 고등학교에서 물리 Ⅱ를 배우지 않아 전공 수업을 따라가지 못한다는 기사가 나왔다. 그들을 위해 서울대학교는 물리와 수학을 ‘기본’, ‘일반’, ‘고급’으로 세분화해 강의를 제공한다고 한다. 다른 대학의 상황도 마찬가지일 터. 물리, 수학 못하는 이공계 대학생들이 의외로 많은 듯하다.
이 책은 기본적인 수학 지식이 없어 물리로 눈을 돌리지 못하는 사람들을 위해 기획되었다. 또한 수학, 물리에 발목 잡혀 꿈을 접은 사람들을 위해 기획되었다. 수학과 물리는 본질적으로 함께 배워야 효과적이라고 생각하는 저자는 수학과 물리의 ‘연관성’을 알면 무조건 외우기 급급했던 물리 이론을 훨씬 쉽게 이해하게 된다고 장담한다.
이 책의 구성은 꽤나 흥미롭다. 미적분, 벡터 등을 적절히 활용해 물리 이론을 설명한 다음 예시문제와 기출문제를 통해 독자가 내용을 제대로 이해했는지 확인한다. 각 장 끝에는 ‘Q&A’가 있어 독자들의 궁금증을 한 번 더 해결해준다. 이 책의 장점은 저자가 옆에서 차근차근 설명해주는 방식이다. 수학 기호의 유래나 표기법, 읽는 법까지 일러준다. 게다가 미적분을 전혀 모르는 사람도 이해하기 쉽도록 저자는 책 곳곳에 장치를 해두었다. 알아듣기 쉬운 저자의 친절한 설명 덕분에 독자는 마치 일대일 과외를 받는 기분이 들 것이다.

내용소개
제1장 미분은 평균속도와 순간속도의 차이를 설명하면서 시작한다. 초등학교 때 배운 수식이 평균속도를 구하는 것이었다면 미분계수와 극한은 가속운동에서의 순간속도를 구하는 수학적 도구다. 미분계수부터 도함수, 삼각함수의 미분, 곱의 미분 공식, 삼각함수 미분과 합성함수 미분으로 이어지는 1장의 내용을 따라가면 미분 개념이 쉽게 정리된다. [물리에 필요한 수학] 코너에서는 순간속도, 위치?속도?가속도, 등속원운동의 가속도, 운동방정식과 각운동량, 코리올리 힘과 원심력에 대해 알 수 있다.
제2장 적분은 가속도로 속도나 위치를 구하는 방법, 즉 도함수에서 원래의 함수를 구하는 방법에 대해 알아본다. 주요 내용은 미적분의 기본정리와 치환적분법이다. 저자는 라이프니츠가 찾아낸 공식을 왜 과학사의 대발견이라 치켜세우는지 자세히 설명한다. 평균값 정리도 증명해준다. 또 ‘운동방정식’을 적분하면 ‘역학적 에너지 보존법칙’이나 ‘운동량 보존법칙’을 이끌어낼 수 있다는 점을 강조하면서 미적분이 물리에 얼마나 다양하게 활용되는지 보여준다. [물리에 필요한 수학] 코너에서는 등가속도 직선운동, 에너지 보존법칙과 운동량 보존법칙을 다룬다.
제3장 미분방정식은 적분과 관련 깊다. 복잡한 수식과 난해한 용어로 가득한 이 장은 사실 좀 어렵다. 하지만 저자는 1, 2장에서와 마찬가지로 잘 정리된 공식과 그래프, 예시를 적절히 사용해 적분하는 묘미를 일깨워준다. 뉴턴의 운동법칙을 미분방정식으로 풀이하는 과정에서 독자들은 ‘자연이라는 책은 수학의 언어로 쓰여 있다’고 한 갈릴레오의 말을 이해할 수 있을 것이다. [물리에 필요한 수학] 코너에서는 단진동, 자유낙하 운동, 감쇠진동이 기다리고 있다.

시작하며

1장 미분
01 미분계수_‘한없이 가까워지는 값’, 미분ㆍ적분의 시작
ㆍ 물리에 필요한 수학_순간속도
ㆍ 기출문제
ㆍ Q & A

02 도함수_‘원인’, ‘원인’의 ‘원인’까지 파악한다
ㆍ 물리에 필요한 수학_위치ㆍ속도ㆍ가속도
ㆍ 기출문제
ㆍ Q & A

03 삼각함수의 극한_어떤 극한을 위한 새로운 각도 표시법
ㆍ 물리에 필요한 수학_등속원운동의 가속도
ㆍ 기출문제
ㆍ Q & A

04 곱의 미분_‘작은 것’ב작은 것’은 무시할 수 있다
ㆍ 물리에 필요한 수학_운동방정식과 각운동량
ㆍ 기출문제
ㆍ Q & A

05 삼각함수 미분과 합성함수 미분_‘어림하는 힘’의 정체
ㆍ 물리에 필요한 수학_코리올리 힘과 원심력
ㆍ 기출문제
ㆍ Q & A

2장 적분
01 미적분의 기본정리_과학사의 대발견
ㆍ 물리에 필요한 수학_등가속도 직선운동
ㆍ 기출문제
ㆍ Q & A

02 치환적분법_기호의 왕, 라이프니츠
ㆍ 물리에 필요한 수학_에너지 보존법칙과 운동량 보존법칙
ㆍ 기출문제
ㆍ Q & A

3장 미분방정식
01 미분방정식과 모델화_현실의 모델화, 미래 예측법
ㆍ 물리에 필요한 수학_단진동
ㆍ 기출문제
ㆍ Q & A

02 일계 미분방정식-변수분리형_‘풀리는’ 미분방정식 기본형
ㆍ 물리에 필요한 수학_공기저항을 받으며 낙하하는 물체 운동
ㆍ 기출문제
ㆍ Q & A

03 이계 선형 동차 미분방정식_오일러 공식으로 ‘근의 공식’을 얻는다
ㆍ 물리에 필요한 수학_감쇠진동
ㆍ 예상문제
ㆍ Q & A

마치며

시작하며_ p. 10
수학이나 물리는 평생학습을 하기에 가장 적합한 학문이라고 생각해요. 종이와 연필과 참고서가 있으면 수준에 맞춰, 언제나 하고 싶을 때 하고 싶은 만큼 다시 배워나갈 수 있거든요. 학생 때 수학을 포기했던 사람이나 완전히 잊어버린 사람이야말로 이 책을 꼭 읽었으면 좋겠어요. 수학과 물리를 함께 배우는 묘미를 알기 바랍니다.

가속도와 이계도함수_ pp. 54~55
미분이란 ‘작게 나눈다’는 뜻이다. 어떤 함수를 미분한다는 것은 결국 함수를 세세하게 나누고, 그래프에 있는 각 점에서의 접선의 기울기를 조사하여 함수의 값에 변화를 불러오는 것의 정체를 알아내려 하는 계산이라고 말할 수 있다. 우리는 변화의 원인을 알고 싶을 때 미분하여 그 도함수를 구한다.

적분이란?_ p. 198
적분은 무려 기원전 1800년 무렵으로 거슬러 올라가야 그 발단을 찾을 수 있다. 적분이 이토록 빨리 생겨난 이유는 한마디로 면적을 구하기 위해서였다. 예를 들어 유산으로 상속받은 토지를 형제가 평등하게 나눠가질 경우, 토지의 경계선이 꼭 직선일 수는 없기에 곡선으로 둘러싸인 토지의 면적을 정확히 계산하는 기술이 필요했을 것이다. 또한 논이나 밭에 조세를 합리적으로 부과하기 위해서도 이런 계산이 필요하였다. 그래서 만들어진 것이 적분이다. 적분이라는 것은 오랫동안 면적을 구하는 수법을 가리키는 말이었다.

에너지 보존법칙과 운동량 보존법칙_ p. 256
운동방정식의 치환적분을 통해 (고등학교에서 주입식으로 가르치는) 일, 운동에너지, 중력이나 용수철의 힘에 의한 위치에너지가 각자 ‘에너지 보존법칙’을 만족시키도록 정의된 사실을 발견하는 것, 나는 그것이야말로 미분?적분을 사용하여 물리를 배울 때 느끼는 감동 중 최고가 아닐까 싶다.

미분방정식의 분류_ p. 323
미분방정식에서는 이제부터 풀려는 함수를 미지함수라고 한다. 미지함수의 도함수 중에서 가장 높은 미분의 계수(미분된 횟수)가 n일 때, 이 식을 n계 미분방정식이라고 한다(p. 289). 또한 물리에 등장하는 미분방정식 대부분은 일계 미분방정식과 이계 미분방정식이므로, 이 책에서는 이 둘만 다룬다.