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『카페에서 읽는 수학』의 저자 크리스티안 헤세는 독일에서 가장 유명한 수학자다. 그의 수학책은 베스트셀러가 되었다. 헤세는 다큐드라마 제작에 자문으로 참여하기도 하고, 세계 체스 챔피언과 겨루기도 했으며, 투표권에 관한 논문을 쓰기도 했다. ‘가장 다양한 면이 있는 독일 학자’라는 평에서도 엿볼 수 있듯이 헤세는 세상의 다양한 것에 관심이 있다. 이 책에도 그의 다양한 관심이 반영되어 있다. 정작 헤세는 자신을 ‘한 가지 주제에만 집중할 수 있는 보통 사람’이라고 해서 ‘보통 사람’의 속을 뒤집어 놓았지만, 이 책 전체에 걸쳐 그가 강조하는 것은 수학과 상관없이 살아온 ‘보통 사람’도 수학을 알아야 한다는 것이다. 수학은 우리 생활 곳곳에 깃들어 있고, 생각만큼 따분하거나 어려운 것이 아니다. 수학은 즐겁고 유쾌하며, 때로는 섹시한 학문이다.

수학은 우리의 일상 곳곳에 숨어 있다.
그리고 수학은 사랑과 음악처럼
사람을 행복하게 만들어준다.

일상생활 곳곳에 숨어 있는 수학에 관한 이야기를 재미있게 풀어낸 책이다. 베스트셀러 수학자 크리스티안 헤세가 독일 최고의 주간지 『디 차이트』 온라인 판에 기고해 독자들의 큰 호응을 받았던 글을 모아 엮은 것으로, 일상의 사소한 순간부터 일생일대의 중요한 순간까지 수학이 얼마나 우리에게 도움이 되는지, 그리고 수학이 얼마나 즐거운 것인지 알려준다. 생일의 비밀부터 축구 경기의 승률, 공정한 승부차기를 하는 방법, ‘답을 바꿀까, 말까’ 고민되는 순간 선택 방법, 빚을 탕감할 확률, 이혼 시 재산 분할 방법까지 각종 예를 들어 수학의 설명력과 매력을 보여준다. 각각의 글은 짧고 유쾌하며 어려운 공식이 거의 없기 때문에, 수학에 관심 있는 사람뿐 아니라 과거 수학을 어려워했던 사람들까지 즐겁게 읽을 수 있을 것이다.

숫자가 싫은 어른을 위한 수학 책
수학을 몰라도 잘 살 수 있다. 평범한 사람의 일상에 고차방정식이나 미적분이 필요할 일은 거의 없으니, 학년이 올라갈수록 각종 공식을 외우고 어려운 계산을 해야 하는 수학을 포기하는 것도 합리적인 선택이라고 할 수 있다. 하지만 수학은 우리 일상의 곳곳에서 숨어서 알게 모르게 우리에게 영향을 미치고 있다. 세상을 좀더 명확히 보고, 분명한 선택을 하려면 수학과 가까워지는 것이 유리하다.
게다가 제4차 산업혁명 시대에는 수와 데이터가 매우 폭발적으로 증가하기 때문에 글을 읽고 쓸 줄 아는 능력이 중요한 것처럼 수를 이해하고 다룰 수 있는 능력도 중요하다. 이제는 성인도 수학을 공부해야 한다. 숫자, 데이터, 통계를 잘 다루고, 확률을 계산해 기회와 위기를 평가하는 능력, 적은 정보로 바른 결정을 내리는 능력을 길러야 한다.
하지만 오랫동안 관심 없었던 수학에 갑자기 취미를 붙이기는 쉽지 않다. 『카페에서 읽는 수학』은 수학에 관심이 있었지만 읽을거리가 없어 아쉬웠던 사람들, 혹은 수학을 어렵게만 생각해 그동안 취미를 붙이지 못했던 사람들이 수학의 즐거움에 눈을 뜰 수 있도록 쓴 책이다. 이 책은 무엇보다 짧고, 쉽고, 재미있다. 어려운 공식을 나열하기보다 다양한 에피소드를 소개하며 수학의 즐거움을 보여준다. 저자의 말처럼 이 책에 실린 각각의 글은 하나씩 심심풀이로 읽을 수 있다. 카페에서 친구를 기다리며, 잠들기 전에, 주말 아침 침대에서, 화장실에서, 짬이 날 때마다 읽을거리로 제격이다.

생일부터 이혼까지, 수학으로 설명하다
수학은 그동안 당연하게 받아들였던 일들, 혹은 신기한 우연이라고만 생각했던 일들을 설명해준다. 예를 들어, 생일이 같은 사람과 만날 확률은 얼마나 될까? 1년은 365일이나 되니, 생일이 같은 사람끼리 만나는 일은 쉽지 않을 것 같다. 하지만 수학적으로 계산하면 23명으로 이루어진 집단에서 2명이 생일이 같을 확률은 50퍼센트나 된다. 즉, 축구 경기 시작 전에 늘어선 양 팀 선수와 주심 1명 중 2명이 생일이 같은 경우는 2경기당 1번꼴로 벌어진다. 생일과 관련된 또 다른 이야깃거리는 생일은 위험하다는 것이다. 연구 결과 생일에 죽을 확률은 다른 날보다 14퍼센트 높았다. 60세 이상은 생일날 죽을 확률이 18퍼센트까지 올라간다.
축구 경기가 시작할 때, 몇 대 몇으로 이길지 예측할 수 있을까? 만약 그렇다면 스포츠 복권을 사는 데 큰 도움이 될지도 모른다. 축구 경기에서 골은 푸아송 분포에 따라 들어간다. 한 경기에서 한 팀이 k골을 넣을 확률은 e(-m)mk/k!다. 이 식에서 e는 오일러 상수고, m은 경기당 한 팀이 평균적으로 넣는 골 수다. 여기에 숫자를 대입해 계산해보면 몇 골을 넣을 확률이 높은지 알 수 있다. 독일 분데스리가의 홈팀은 평균 1.63골을 넣고 원정팀은 1.25골을 넣었다. 공식에 이 숫자를 넣으면 홈팀은 1골을 넣을 확률이 31.94퍼센트로 가장 높고, 2골을 넣을 확률이 26.03퍼센트로 그다음으로 높다. 원정팀은 1골을 넣을 확률이 35.81퍼센트, 2골을 넣을 확률이 22.38퍼센트다. 두 팀이 1:1로 비길 확률은 0.3194×0.3581=0.1144=11.44퍼센트다.
축구 경기에서 동점이 나온다면, 승부를 내야 하는 경우 승부차기를 해야 한다. 하지만 승부차기는 공정할까? 또, 승부차기를 위한 전략이 있을까? 답부터 말하면 현재의 승부차기는 공정하지 않다. 60:40으로 먼저 승부차기를 하는 팀이 유리하다. 공정한 승부차기를 위해서는 승부차기 순서를 바꾸어야 한다. 이때는 투에-모스 수열을 응용하면 된다. 전체 순서를 바꾸되, 서로 차례를 바꾸어 순서를 정하는 것이다. X팀과 Y팀이 승부차기를 한다면 XY, YX, YX, XY, YX, XY, XY, YX…… 순이 된다. 이렇게 하면 공정한 승부차기를 할 수 있다. 승부차기를 위한 전략은 내시 균형을 이용할 수 있다. 내시 균형은 슈터와 골키퍼가 선택할 수 있는 최적의 수를 알려준다. 슈터는 쉬운 쪽으로 공을 차는 것이, 골키퍼 역시 쉬운 쪽으로 몸을 날리는 것이 둘 모두에게 유리하다.
사람의 인생도 예측할 수 있다. 이 책은 이혼이 예측 가능하다는 것을 보여준다. 수학자 제임스 머리와 존 고트먼은 결혼 생활을 예측하는 실험을 했다. 부부들을 모아 긍정적인 말과 부정적인 말에 점수를 매기고 생리적인 자료를 기록해 미분방정식을 만들었다. 결혼 생활 예측 방정식은 재난이론 방정식과 유사했는데, 연구자들은 91퍼센트의 확률로 이혼을 맞혔다. 이 연구에서 중요한 것은 1번 부정적인 대화를 한 후, 5번 이상 긍정적인 대화를 한 부부, 즉 긍정적인 대화의 비율이 높은 부부는 성공적으로 결혼 생활을 유지했다는 것이다.
수학은 이 외에도 이혼 시 재산을 공정하게 나누는 방법, 페이스북 친구들이 나보다 인기가 많아 보이는 이유 등도 설명해준다. 답을 바꿀까, 말까 고민될 때 어떻게 해야 하는지도 알려준다. 문제의 형태에 따라 다르지만 3개 중 하나를 선택해야 하고, 문제를 낸 사람이 답을 알고 있다면, 답을 바꾸는 것이 유리하다. 또한 수학은 탈세자를 찾아내는 데 이용되고, 간단하게 마술을 펼쳐 보이는 방법도 알려준다. 심지어 수학으로 신의 존재를 증명할 수도 있다. 이 책에서는 아인슈타인의 친구였던 전설적인 논리학자 쿠르트 괴델의 증명을 소개한다. 괴델의 증명은 3개의 정의, 5개의 공리, 4가지 정리로 이루어져 있으며 ‘신성한 존재는 존재한다’는 결론을 내린다.

수학을 멀리해온 여성들에게
이 책의 저자 크리스티안 헤세는 독일에서 가장 유명한 수학자다. 그의 수학책은 베스트셀러가 되었다. 헤세는 다큐드라마 제작에 자문으로 참여하기도 하고, 세계 체스 챔피언과 겨루기도 했으며, 투표권에 관한 논문을 쓰기도 했다. ‘가장 다양한 면이 있는 독일 학자’라는 평에서도 엿볼 수 있듯이 헤세는 세상의 다양한 것에 관심이 있다. 이 책에도 그의 다양한 관심이 반영되어 있다. 정작 헤세는 자신을 ‘한 가지 주제에만 집중할 수 있는 보통 사람’이라고 해서 ‘보통 사람’의 속을 뒤집어 놓았지만, 이 책 전체에 걸쳐 그가 강조하는 것은 수학과 상관없이 살아온 ‘보통 사람’도 수학을 알아야 한다는 것이다. 수학은 우리 생활 곳곳에 깃들어 있고, 생각만큼 따분하거나 어려운 것이 아니다. 수학은 즐겁고 유쾌하며, 때로는 섹시한 학문이다.
수학을 사랑해 마지않는 저자는 유명인들의 말을 인용해 ‘학문의 여왕’께 바치는 헌사를 잔뜩 실어놓기도 했다. 하지만 그보다 관심을 가져야 할 것은 여성과 수학에 관한 부분이다. 독일과 한국을 막론하고 여자는 수학을 못 한다는 고정관념이 있다. 하지만 12개국, 10만 명을 대상으로 한 연구 결과 남학생과 여학생의 수학 재능에 유의미한 차이는 없었다. 다만 여학생이 수학을 더 두려워하고 수학에 자신감이 없었을 뿐이다. 관습적으로는 여성에게는 수학을 권하지 않고, 수학을 좋아하던 소녀들도 사춘기에 접어들면서 수학을 피한다. 수학은 여성적이지 않다고 여기기 때문이다. 하지만 빅토리아 시대 영국에서 출간된 『레이디스 다이어리』라는 잡지는 수학을 심도 있게 다루며 “세련된 지적 능력이 여성의 매력을 한층 빛나게 해줄 것”이라고 했다. 여성은 원래 수학을 못 한다는 말은 잘못된 것이다. 여성과 남성의 동등한 권리가 점점 더 인정되고 있고, 또 그래야 한다면 수학에 대한 잘못된 고정관념부터 깨야 할 것이다.

제1장 일상생활의 수학
생일과 기적의 비밀
-알쏭달쏭한 생일
-병이 낫는 영험한 곳이 있을까?
-기적은 계속 일어난다
-생일에 죽을 확률
-생일이 더 위험하다

수학으로 우연을 계산하다
-13일의 금요일은 우연이 아니다
-불운의 날이 다가온다
-베를린장벽이 무너지는 날을 예측하다
-일상을 예측하는 것은 아주 쉽다
-한 번의 에이즈 검사는 확실하지 않다
-두 번째 검사가 필요한 이유

남의 떡이 커 보이는 이유
-왜 친구들은 나보다 사랑받을까?
-친구가 없는 사람과 모두가 친구인 사람
-친구 관계의 역설
-친구가 많을수록 감기에 더 걸린다

제2장 우연을 계산하다
도박과 수학
-우연에 대한 이론
-답을 바꿀까, 말까?
-또 하나의 몬티 홀 문제

축구와 수학
-축구의 신은 주사위를 던진다
-몇 대 몇으로 이길 확률이 높을까?
-축구장과 맥주병과 공깃돌

셰익스피어와 수학
-셰익스피어는 얼마나 많은 단어를 알았을까?
-나비와 단어들
-새로운 작품이 발견된다면

제3장 공정한 수학
수학은 무엇을 선택할지 알려준다
-축구 선수의 집단지성
-다윈의 진화론은 틀렸을까?
-약한 자가 살아남는 이유
-선거의 역설

수학에 비밀이 있다
-어려운 일을 하라
-간단한 것은 공정하지 않다
-공정하게 순서 정하는 법
-각자 원하는 것을 얻는 법

공평하게 나누는 방법
-세계 평화보다 어려운 이혼
-게임이론과 채무변제
-빚을 탕감할 확률

제4장 신기한 계산법
두 자릿수 곱셈
-간단한 곱셈
-조금 더 복잡한 곱셈
-수용소에서 개발한 곱셈법
-선을 이용한 중국의 곱셈법

제곱근 구하기
-제곱을 거꾸로 계산하다
-제곱근을 멋지게 푸는 방법
-세 자리가 넘는 큰 수의 제곱근
-제곱근의 근삿값
-세제곱근을 찾는 비결
-베다 수학의 놀라움

제5장 수학의 응용
수학의 탁월함
-시차증후군을 해결해주는 수학
-판데르폴 발진기
-수학으로 행복한 결혼을 예측한다
-통계로 탈세자를 찾아낸다

수학과 스파이
-수학자와 세계대전
-수학이 스파이보다 낫다

예수는 수포자였을까?
-군중의 수를 세는 방법
-예수가 날짜를 잘못 계산했을까?
-부활절을 계산해보자

전지전능한 파이
-파이를 숭배하고, 암기하라
-신비로운 파이
-파이 안에 모든 것이 있다

제6장 재미있는 수학
일상에 숨어 있는 수학
-비엔나소시지가 알려주는 원주율
-다양한 색으로 암호화된 데이터
-엉킨 목걸이를 풀어주는 수학

체스판 위의 수학
-카페에 앉은 수학자들
-이전 수를 추론하다
-체스판의 기하학
-수학으로 승리하라

마술에 숨은 수학
-마술의 수학적 원리
-게으른 마술사를 위한 마술

제7장 수학의 언저리
수학적 사고의 힘
-뉴턴과 괴테의 대결
-문법보다 데이터가 중요하다
-일과 이십일까, 아니면 이십일일까?

여성과 수학
-여성은 수학을 못할까?
-고정관념을 깰 시간이다

수학으로 불가능한 것은 없다
-영원불멸한 수학
-섹시한 수학
-그림자 뒤에 그림자가 있을까?
-신의 존재를 증명하다
-G(x)를 찾아서
-수학에 대한 사랑 넘치는 정의

참고 도서

1961년 8월 13일 베를린장벽이 건설되기 시작했다. 8년 후 미국 수학자이자 물리학자 리처드 고트(J. Richard Gott)는 동서 베를린의 경계를 찾아가 보고는 그 장벽이 얼마나 오래 서 있을지 깊이 생각했다. 세계의 복잡한 정치적 사건들이 어떻게 진행될지 예상하고 그것을 바탕으로 베를린장벽의 미래를 도출한 것이 아니라, 확률적으로 접근했다.
-29쪽

페이스북 친구 네트워크는 매우 복잡하다. 나, 친구들, 친구의 친구들, 친구의 친구의 친구들……로 구성되어 있다. 그렇게 무작위로 끝도 없이 나아간다. 그러면 이제 친구의 수를 살펴보자. 그리고 더 나아가 친구들이 평균 몇 명과 친구를 맺고 있는지 살펴보자. 단언하건대 나는 당신이 누군지 모르고 당신의 친구가 몇 명인지도 모른다. 그런데도 감히 예측하건대, 당신의 친구들이 평균적으로 당신보다 친구가 많을 것이다. 내 말이 맞지 않은가? 내 말이 맞는다 해도, 당신이 당신의 친구들보다 덜 매력적이고, 덜 재미있고, 덜 호감이 가는 사람이어서가 아니다. 그 이유는 수학에 있으며, 실은 그 이유가 거의 전부라고 보아도 무방하다.
-본문 37~38쪽

축구 경기에서 120분 동안 경기를 하고, 즉 정규 시간에 연장전까지 하고난 후에도 승패가 결정 나지 않으면 승부차기를 한다. FIFA 규정에 따르면, 동전을 던져서 이기는 사람이 자기 팀이 먼저 승부차기를 할지, 나중에 할지 선택할 수 있다고 한다. 그다음 교대로 5번씩 승부차기를 한다. 5번 승부차기를 하고도 승부가 여전히 결정되지 않으면, 한 팀이 한 골이라도 더 넣을 때까지 같은 순서에 따라 승부차기를 계속한다. 이런 방식이 공정할까? 절대로 아니다! 원인은 순서에 있다. 통계에 따르면 먼저 승부차기를 하는 팀이 이길 확률이 60퍼센트라고 한다.
-본문 84쪽

연구자들은 자료를 두 가지 미분방정식으로 간결하게 표현했다. 안정적인 결혼 생활을 예측하는 방정식은 흥미롭게도 수학자들이 간질 발작, 주식시장 붕괴, 지진 같이 간헐적으로 발생하는 일들의 변화 추이를 보여주는 재난이론 방정식과 비슷했다. 방정식에 자료를 넣어보면 결혼 생활이 얼마나 지속될지 예상할 수 있다. 그리고 그런 예상은 현실에서 확인되었다. 연구자들은 참가자들과 연락을 유지했고 참가자들은 1년에 한 번씩 근황을 알려왔다. 연구 결과는 상당히 흥미로웠다. 연구자들이 가망이 없다고 예상했던 부부의 91퍼센트가 실제로 이혼했다.
-본문 132쪽

암호화한 자모가 원래의 자모와 같아지는 경우가 전혀 없도록 암호화할 방법에 제약이 있기 때문에 에니그마의 능력은 상당히 제한된다. 마침내 영국 수학자 앨런 튜링(Alan Turing)은 에니그마의 암호를 깨는 데 성공했다. 그래서 연합군은 독일이 주고받는 모든 분야의 정보를 거의 완전히 알 수 있게 되었다. 연합군의 총사령관이자 이후 미국 대통령이 된 드와이트 아이젠하워는 에니그마의 암호를 푼 것이 승리에 ‘결정적’이었다고 인정했다. 즉, ‘수학자 튜링이 제2차 세계대전의 승리에 결정적이었다’고 말할 수 있다.
-본문 142쪽

12개국 10만 명의 학생을 대상으로 한 광범위한 연구 결과에 따르면 여학생이든 남학생이든 수학에 대한 재능은 비슷하다고 한다. 그러나 수학에 대한 여학생의 자신감은 남학생에 비해 낮았고, 여학생이 수학을 더 두려워한다는 것 역시 밝혀졌다. 이것은 사회?문화적 고정관념의 결과로 볼 수 있다.
-본문 202쪽