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고대에서 20세기 전반까지 수학의 핵심 개념과 수학자의 연구 주제를 다룬 개설서

이 책은 고대에서 20세기 전반까지 수학의 발전 과정을 다룬다. 이 책은 핵심 개념들을 서술하는 것을 목표로 하면서 수학의 진로 형성에 큰 역할을 한 연구 흐름을 중점적으로 살핀다. 수학을 규정하는 개념, 시기에 따른 그 개념의 변화, 그리고 자신들의 성과를 바라보는 수학자들의 관점 역시 중요하게 다루었다.

이 책은 수학사 개설서이다. 지면의 제약 때문에 어쩔 수 없이 여러 연구 결과들 가운데 몇 가지만을 선별해 실은 장들이 적지 않다. (하지만 선별된 것들이 해당 분야를 대표라는 결과들이라고 믿는다.) 또 정리나 연구 결과들을 인용할 때 핵심 아이디어를 집중적으로 설명하기 위해서 사소한 전제 조건들을 생략한 경우도 많다. 수학자들보다는 주요 수학 주제들을 강조해 다룬다. 수학의 분야들은 각기 그 분야를 세운 사람들의 흔적을 지니고 있고 또 위대한 학자들이 수학의 물줄기를 결정하는 데에 확고한 역할을 했다. 하지만 이 책에서 주로 다룬 내용은 학자들의 아이디어이다.

"수학의 미래를 예견하는 올바른 방법은 그 역사와 현재 상태를 살피는 것이다."라는 앙리 푸앵카레의 말처럼 이 책은 고대에서 20세기 전반까지 수학의 발전 과정을 다룬다. 이 책은 핵심 개념들을 서술하는 것을 목표로 하면서 수학의 진로 형성에 큰 역할을 한 연구 흐름을 중점적으로 살핀다. 수학을 규정하는 개념, 시기에 따른 그 개념의 변화, 그리고 자신들의 성과를 바라보는 수학자들의 관점 역시 중요하게 다루었다.

이 책은 수학사 개설서이다. 오일러는 70권 분량을 채울 연구 성과를 남겼고, 코시는 26권, 가우스는 12권 분량에 달한다는 연구를 냈다. 이런 사실을 고려하면 한 권짜리 책에서 충분한 설명을 기대하기란 불가능하다는 것이 명백하다. 지면의 제약 때문에 어쩔 수 없이 여러 연구 결과들 가운데 몇 가지만을 선별해 실은 장들이 적지 않다. (하지만 선별된 것들이 해당 분야를 대표라는 결과들이라고 믿는다.) 또 정리나 연구 결과들을 인용할 때 핵심 아이디어를 집중적으로 설명하기 위해서 사소한 전제 조건들을 생략한 경우도 많다. 이런 한계에 불구하고 나는 수학사를 조망할 수 있는 시야가 이 책에서 제시되었다고 믿는다.

이 책은 수학자들보다는 주요 수학 주제들을 강조해 다룬다. 수학의 분야들은 각기 그 분야를 세운 사람들의 흔적을 지니고 있고 또 위대한 학자들이 수학의 물줄기를 결정하는 데에 확고한 역할을 했다. 하지만 이 책에서 주로 다룬 내용은 학자들의 아이디어이다. 그들의 일대기는 전적으로 부차적이다. 이런 점에서 "우리가 학자를 인용할 때 그 학자의 논증을 인용하는 것이지 그 이름을 인용하는 것은 아니다."라는 파스칼의 충고를 나는 따른 셈이다.
한 분야나 이론을 기술할 때 (특히 1700년 이후 시기) 조리 있는 설명을 위해서 그 분야 혹은 이론이 충분히 숙성되어 영향력을 발휘하게 된 시대에 이르러 설명하였다. 예컨대 유클리드 평행선 공리를 대체하려거나 증명하려는 시도는 유클리드 시대부터 끊임없이 이어졌지만 비유클리드 기하학은 19세기에서 다루었다. 물론 다수의 분야는 여러 시기에 걸쳐 반복해 등장한다.

제한된 지면 때문에 중국, 일본, 마야 같은 여러 문명권의 수학을 다루지 못했다. 사실, 그 문명권들은 수학의 주된 흐름에 별다른 영향을 주지 못했다. 또 오늘날 중요한 분야로 평가받는 확률론과 유한차분법 같은 분야들은 과거에 주요한 역할을 하지 못해 별다른 주목을 끌지 못했다. 지난 몇 십 년 동안 수학은 크게 발전했기 때문에 그 시기에 중요한 분야로 떠올랐던 분야들을 선별해 다룰 수밖에 없었다. 상미분방정식이나 변분법 같은 분야들의 성과를 20세기까지 계속해 다루려면 해당 분야 연구자들에게만 관심이 될 만한 전문 내용을 설명해야 하기 때문에 이 책에 적합한 분량을 크게 넘어서게 된다. 이러한 점들 이외에도 최근의 성과들이 지니는 중요성을 현시점에서 객관적으로 평가하기 어렵다는 사정도 있다. 역사를 살펴보면 엄청난 반향을 불러일으키며 당대 최고 수학자들의 관심을 한순간에 끌었으나 결국에는 잊히고만 것들이 적지 않다. 사영기하학이 기하학 전부라고 단언했던 케일리의 경우를 대표 사례로 꼽을 만하다. 실제로 수학사에서 가장 흥미로운 문제는 긴 세월을 견디고 살아남는 이론들은 무엇이냐는 것이다. 올바른 판정은 전적으로 역사의 몫이다.

여러 주요 이론들의 발전 과정을 접하게 될 이 책의 독자들 가운데에서 그 이론들의 실질적 내용을 숙지하고 있을 독자를 찾기는 어려울 듯하다. 따라서 매우 기초적인 분야를 제외한 나머지 분야의 경우에는 그 역사적 발전 과정뿐만 아니라 그 이론의 내용도 설명했다. 그 분야들을 완전히 파악할 수 있게 하지는 못했다고 해도 본질적 특징을 밝혀주는 데에는 성공했다고 본다. 따라서 이 책은 역사를 도구로 삼은 수학 입문서라 할 수 있다. 이러한 방식은 수학을 이해하고 음미하는 가장 좋은 방법이다.

나는 이 책이 중견 수학자와 수학을 전공하는 학생 모두에게 도움이 되기를 바란다. 오늘날 수학자들은 협소한 자신의 전문 연구에 많은 시간과 노력을 들이기 때문에 해당 분야의 역사를 제대로 알 기회가 없다. 하지만 역사 지식은 중요하다. 현재의 뿌리는 과거 속에 깊이 박혀 있기 때문에 현재를 이해하려는 사람에게는 소홀히 다루어도 좋을 과거의 일은 거의 없다. 게다가 수학은, 수많은 분야들로 세분되어 있음에도 하나의 통일체이고 나름의 주요한 문제와 목표를 지니고 있다. 다양한 여러 전문 분야들이 수학의 본줄기에 기여하지 않는다면 그 분야들은 아무런 열매를 맺지 못하는 무익한 이론이 되고 만다. 세분화로 인한 문제를 해결하는 가장 확실한 방법은 과거의 성과, 그리고 수학이 본래 겨냥했던 목표들을 배우는 것이다. 힐베르트가 말했듯이 "수학은 각 기관들이 유기적으로 결합되어 있어야만 생명이 유지되는 유기체"이다.

수학을 공부하는 학생에게 이 책은 또 다른 효용성을 갖는다. 흔히 학교에서 수학 교과들을 수강하다 보면 여러 분야들 사이에 별다른 관련성이 없는 것처럼 비쳐진다. 역사는 수학 전모를 조감할 수 있는 시야를 주며, 과목들 서로 간의 관련성뿐만 아니라 각 과목이 전체에서 차지하는 위치도 밝혀준다.
학교에서 가르치는 수학 교과들은 근본적으로 학생들을 오도한다. 그러한 교과들에서는 내용이 논리정연하게 제시되어 있어서 수학자들은 한 정리에서 출발하여 손쉽게 다른 정리로 옮겨가면서 어떤 어려움도 해소하여 완전무결한 이론을 만들어낸다는 인상을 받게 된다. 줄지어 나오는 정리들 앞에서 학생들은 당혹한다.
하지만 역사를 들여다보면 그와는 달리 한 분야는 여러 방향에서 나온 결과들이 뒤엉키며 조금씩 발전했다. 또 중요한 진전이 있기까지 수십 년이나 심지어 수백 년이 걸린 경우도 적지 않다. 완전무결한 이론이 한순간에 나온 것이 아니라 보잘것없이 출발하여 나중에서야 많은 문제점들이 보완되거나 중요한 이론으로 확대 발전된 사례를 자주 보게 된다.

수학 교과에 정리된 내용만을 보면 창조적 과정에서 분투와 좌절, 그리고 정연한 구조를 세우기 위해 수학자들이 거쳐야 했던 길고 험난한 길이 드러나지 않는다. 수학을 공부하면서 이러한 사실을 인식하고 나면 수학이라는 학문에 대한 통찰력을 얻을 뿐만 아니라 주저 없이 문제를 공략하고 자신의 연구가 결함투성이에 불완전하다고 해도 위축되지 않는 용기를 얻는다. 어떻게 수학자들이 실패 속에서 암중모색하다가 겨우 한 조각의 결과를 얻었는지를 알면 수학 연구를 막 시작한 신출내기도 용기를 얻기에 충분하다.

고대에서 20세기 전반까지 수학의 핵심 개념과 수학자의 연구 주제를 다룬 개설서

“수학의 미래를 예견하는 올바른 방법은 그 역사와 현재 상태를 살피는 것이다.”라는 앙리 푸앵카레의 말처럼 이 책은 고대에서 20세기 전반까지 수학의 발전 과정을 다룬다. 이 책은 핵심 개념들을 서술하는 것을 목표로 하면서 수학의 진로 형성에 큰 역할을 한 연구 흐름을 중점적으로 살핀다. 수학을 규정하는 개념, 시기에 따른 그 개념의 변화, 그리고 자신들의 성과를 바라보는 수학자들의 관점 역시 중요하게 다루었다.

이 책은 수학사 개설서이다. 오일러는 70권 분량을 채울 연구 성과를 남겼고, 코시는 26권, 가우스는 12권 분량에 달한다는 연구를 냈다. 이런 사실을 고려하면 한 권짜리 책에서 충분한 설명을 기대하기란 불가능하다는 것이 명백하다. 지면의 제약 때문에 어쩔 수 없이 여러 연구 결과들 가운데 몇 가지만을 선별해 실은 장들이 적지 않다. (하지만 선별된 것들이 해당 분야를 대표라는 결과들이라고 믿는다.) 또 정리나 연구 결과들을 인용할 때 핵심 아이디어를 집중적으로 설명하기 위해서 사소한 전제 조건들을 생략한 경우도 많다. 이런 한계에 불구하고 나는 수학사를 조망할 수 있는 시야가 이 책에서 제시되었다고 믿는다.

이 책은 수학자들보다는 주요 수학 주제들을 강조해 다룬다. 수학의 분야들은 각기 그 분야를 세운 사람들의 흔적을 지니고 있고 또 위대한 학자들이 수학의 물줄기를 결정하는 데에 확고한 역할을 했다. 하지만 이 책에서 주로 다룬 내용은 학자들의 아이디어이다. 그들의 일대기는 전적으로 부차적이다. 이런 점에서 “우리가 학자를 인용할 때 그 학자의 논증을 인용하는 것이지 그 이름을 인용하는 것은 아니다.”라는 파스칼의 충고를 나는 따른 셈이다.
한 분야나 이론을 기술할 때 (특히 1700년 이후 시기) 조리 있는 설명을 위해서 그 분야 혹은 이론이 충분히 숙성되어 영향력을 발휘하게 된 시대에 이르러 설명하였다. 예컨대 유클리드 평행선 공리를 대체하려거나 증명하려는 시도는 유클리드 시대부터 끊임없이 이어졌지만 비유클리드 기하학은 19세기에서 다루었다. 물론 다수의 분야는 여러 시기에 걸쳐 반복해 등장한다.

제한된 지면 때문에 중국, 일본, 마야 같은 여러 문명권의 수학을 다루지 못했다. 사실, 그 문명권들은 수학의 주된 흐름에 별다른 영향을 주지 못했다. 또 오늘날 중요한 분야로 평가받는 확률론과 유한차분법 같은 분야들은 과거에 주요한 역할을 하지 못해 별다른 주목을 끌지 못했다. 지난 몇 십 년 동안 수학은 크게 발전했기 때문에 그 시기에 중요한 분야로 떠올랐던 분야들을 선별해 다룰 수밖에 없었다. 상미분방정식이나 변분법 같은 분야들의 성과를 20세기까지 계속해 다루려면 해당 분야 연구자들에게만 관심이 될 만한 전문 내용을 설명해야 하기 때문에 이 책에 적합한 분량을 크게 넘어서게 된다. 이러한 점들 이외에도 최근의 성과들이 지니는 중요성을 현시점에서 객관적으로 평가하기 어렵다는 사정도 있다. 역사를 살펴보면 엄청난 반향을 불러일으키며 당대 최고 수학자들의 관심을 한순간에 끌었으나 결국에는 잊히고만 것들이 적지 않다. 사영기하학이 기하학 전부라고 단언했던 케일리의 경우를 대표 사례로 꼽을 만하다. 실제로 수학사에서 가장 흥미로운 문제는 긴 세월을 견디고 살아남는 이론들은 무엇이냐는 것이다. 올바른 판정은 전적으로 역사의 몫이다.

여러 주요 이론들의 발전 과정을 접하게 될 이 책의 독자들 가운데에서 그 이론들의 실질적 내용을 숙지하고 있을 독자를 찾기는 어려울 듯하다. 따라서 매우 기초적인 분야를 제외한 나머지 분야의 경우에는 그 역사적 발전 과정뿐만 아니라 그 이론의 내용도 설명했다. 그 분야들을 완전히 파악할 수 있게 하지는 못했다고 해도 본질적 특징을 밝혀주는 데에는 성공했다고 본다. 따라서 이 책은 역사를 도구로 삼은 수학 입문서라 할 수 있다. 이러한 방식은 수학을 이해하고 음미하는 가장
좋은 방법이다.

나는 이 책이 중견 수학자와 수학을 전공하는 학생 모두에게 도움이 되기를 바란다. 오늘날 수학자들은 협소한 자신의 전문 연구에 많은 시간과 노력을 들이기 때문에 해당 분야의 역사를 제대로 알 기회가 없다. 하지만 역사 지식은 중요하다. 현재의 뿌리는 과거 속에 깊이 박혀 있기 때문에 현재를 이해하려는 사람에게는 소홀히 다루어도 좋을 과거의 일은 거의 없다. 게다가 수학은, 수많은 분야들로 세분되어 있음에도 하나의 통일체이고 나름의 주요한 문제와 목표를 지니고 있다. 다양한 여러 전문 분야들이 수학의 본줄기에 기여하지 않는다면 그 분야들은 아무런 열매를 맺지 못하는 무익한 이론이 되고 만다. 세분화로 인한 문제를 해결하는 가장 확실한 방법은 과거의 성과, 그리고 수학이 본래 겨냥했던 목표들을 배우는 것이다. 힐베르트가 말했듯이 “수학은 각 기관들이 유기적으로 결합되어 있어야만 생명이 유지되는 유기체”이다.

수학을 공부하는 학생에게 이 책은 또 다른 효용성을 갖는다. 흔히 학교에서 수학 교과들을 수강하다 보면 여러 분야들 사이에 별다른 관련성이 없는 것처럼 비쳐진다. 역사는 수학 전모를 조감할 수 있는 시야를 주며, 과목들 서로 간의 관련성뿐만 아니라 각 과목이 전체에서 차지하는 위치도 밝혀준다.
학교에서 가르치는 수학 교과들은 근본적으로 학생들을 오도한다. 그러한 교과들에서는 내용이 논리정연하게 제시되어 있어서 수학자들은 한 정리에서 출발하여 손쉽게 다른 정리로 옮겨가면서 어떤 어려움도 해소하여 완전무결한 이론을 만들어낸다는 인상을 받게 된다. 줄지어 나오는 정리들 앞에서 학생들은 당혹한다.
하지만 역사를 들여다보면 그와는 달리 한 분야는 여러 방향에서 나온 결과들이 뒤엉키며 조금씩 발전했다. 또 중요한 진전이 있기까지 수십 년이나 심지어 수백 년이 걸린 경우도 적지 않다. 완전무결한 이론이 한순간에 나온 것이 아니라 보잘것없이 출발하여 나중에서야 많은 문제점들이 보완되거나 중요한 이론으로 확대 발전된 사례를 자주 보게 된다.

수학 교과에 정리된 내용만을 보면 창조적 과정에서 분투와 좌절, 그리고 정연한 구조를 세우기 위해 수학자들이 거쳐야 했던 길고 험난한 길이 드러나지 않는다. 수학을 공부하면서 이러한 사실을 인식하고 나면 수학이라는 학문에 대한 통찰력을 얻을 뿐만 아니라 주저 없이 문제를 공략하고 자신의 연구가 결함투성이에 불완전하다고 해도 위축되지 않는 용기를 얻는다. 어떻게 수학자들이 실패 속에서 암중모색하다가 겨우 한 조각의 결과를 얻었는지를 알면 수학 연구를 막 시작한 신출내기도 용기를 얻기에 충분하다.

영어로 쓴 책 중에서 수학의 역사에 대한 책으로는 가장 탁월하고 이해하기 좋다.
― 칼 보이어 / [수학의 역사] 저자

의심의 여지가 없이 수학에 대한 사상서로는 반드시 소장해야 할 책이다.
― [이코노미스트]

수학사상에 대한 포괄적인 역사서로 이보다 뛰어난 책은 없다.
― [새터데이리뷰]

현대 수학의 아이디어가 어떻게 발달하였는지 가까이 두고 읽을 수 있다.
― 마이클 오렐리 / 미네소타 대학교

빼어난 학술성과 가독성 있는, 수준 있는 수학 책이다.
― 찰스 존스 / 볼 주립대학교

[1권]
1장　메소포타미아의 수학
2장　이집트의 수학
3장　고전 그리스 수학의 탄생
4장　유클리드와 아폴로니우스
5장　알렉산드리아 그리스 시대
6장　알렉산드리아 시대
7장　자연을 이성의 눈으로 파악한 그리스 문명
8장　그리스 세계의 붕괴
9장　인도와 아라비아의 수학
10장　중세 유럽
11장　르네상스
12장　르네상스 시대의 수학 연구
13장　16세기와 17세기의 산술과 대수학
14장　사영기하학의 시작
15장　좌표기하학
16장　과학의 수학화
17장　미적분학의 탄생

[2권]
18장　1700년경의 수학
19장　18세기의 미적분학
20장　무한급수
21장　18세기의 상미분방정식
22장　18세기의 편미분방정식
23장　18세기의 해석기하학과 미분기하학
24장　18세기의 변분법
25장　18세기의 대수학
26장　1800년경의 수학
27장　복소수함수
28장　19세기의 편미분방정식
29장　19세기의 상미분방정식
30장　19세기의 변분법
31장　갈루아 이론
32장　사원수, 벡터, 선형결합대수
33장　행렬식과 행렬

[3권]
35장　사영기하학의 부활
36장　비유클리드 기하학
37장　가우스와 리만의 미분기하학
38장　사영기하학과 계량기하학
39장　대수기하학
40장　해석학에서 대두된 엄밀성의 문제
41장　실수와 초한수의 기초
42장　기하학의 기초
43장　1900년경의 수학
44장　실변수 함수 이론
45장　적분방정식
46장　함수해석학
47장　발산급수
48장　텐서 해석학과 미분기하학
49장　추상 대수학의 출현
50장　위상수학의 시작
51장　수학의 기초

약어 a-i
찾아보기(인명) a-v
찾아보기(용어) a-xiii

[1권]
1장　메소포타미아의 수학
1. 수학이 시작된 곳은 어디인가? 1 · 2. 메소포타미아의 정치사 2 · 3. 숫자 3 · 4. 산술 연산 6 · 5. 바빌로니아의 대수학 9 · 6. 바빌로니아의 기하학 11 · 7. 바빌로니아의 수학 활용 12 · 8. 바빌로니아 수학에 대한 평가 15

2장　이집트의 수학
1. 배경 19 · 2. 산술 21 · 3. 대수학과 기하학 23 · 4. 이집트인의 수학 활용 27 · 5. 요약 29

3장　고전 그리스 수학의 탄생
1. 배경 31 · 2. 일반 사료 32 · 3. 고전 시대의 주요 학파 35 · 4. 이오니아 학파 37 · 5. 피타고라스 학파 37 · 6. 엘레아 학파 45 · 7. 소피스트 학파 49 · 8. 플라톤 학파 56 · 9. 에우독소스 학파 64 · 10. 아리스토텔레스와 그의 학파 68

4장　유클리드와 아폴로니우스
1. 서론 75 · 2. 유클리드 《원론》의 배경 76 · 3. 《원론》의 정의와 공리 78 · 4. 《원론》 제1권에서 제4권 81 · 5. 제5권－비례 이론 91 · 6. 제6권－닮은꼴 도형 99
· 7. 제7권, 8권, 9권－정수론 105 · 8. 제10권－통약 불가능수의 분류 109 · 9. 제11권, 12권, 13권－입체기하학과 착출법 110 · 10. 《원론》의 장점과 단점 117 · 11. 유클리드의 다른 수학 저작 120 · 12. 아폴로니오스의 수학 연구 업적 121

5장　알렉산드리아 그리스 시대
1. 알렉산드리아의 건설 137 · 2. 알렉산드리아 그리스 수학의 특징 140 · 3. 넓이와 부피에 관한 아르키메데스의 연구 142 · 4. 넓이와 부피에 관한 헤론의 연구 157 · 5. 예외적인 곡선들 159 · 6. 삼각법의 탄생 161 · 7. 후기 알렉산드리아 시대의 기하학 연구 171

6장　알렉산드리아 시대
1. 그리스 산술의 기호와 연산 177 · 2. 독립된 분야로서 산술과 대수학 183

7장　자연을 이성의 눈으로 파악한 그리스 문명
1. 그리스 수학을 낳은 원천 199 · 2. 자연을 이성의 눈으로 바라보기 시작하다 200 · 3. 수학적 짜임새에 대한 믿음의 형성 202 · 4. 그리스의 수리천문학 211 · 5. 지리학 220 · 6. 역학 223 · 7. 광학 228 · 8. 점성학 231

8장　그리스 세계의 붕괴
1. 그리스인들의 업적에 대한 개요 235 · 2. 그리스 수학의 한계 238 · 3. 그리스인들이 남겨놓은 문제 242 · 4. 그리스 문명의 붕괴 244

9장　인도와 아라비아의 수학
1. 초기 인도 수학 251 · 2. 200~1200년의 인도 산술과 대수학 253 · 3. 200~ 1200년의 인도 기하학과 삼각법 259 · 4. 아라비아인 261 · 5. 아라비아의 산술과 대수학 263 · 6. 아라비아의 기하학과 삼각법 269 · 7. 1300년경의 수학 271

10장　중세 유럽
1. 유럽 문명의 시작 277 · 2. 번역서와 저작물 278 · 3. 초기 중세 유럽에서의 수학의 역할 280 · 4. 수학의 침체 282 · 5. 그리스 학문의 일차 부흥 284 · 6. 합리주의와 자연에 대한 관심의 부활 286 · 7. 수학 분야의 발전 상황 289 · 8. 물리 과학의 발전 상황 292 · 9. 요약 295

11장　르네상스
1. 유럽에 밀어닥친 혁명적 영향 299 · 2. 새로운 지적 전망 302 · 3. 지식의 확산 304 · 4. 수학 분야의 인문주의 활동 306 · 5. 과학 혁신을 요구하는 외침 309 · 6. 경험주의의 출현 315

12장　르네상스 시대의 수학 연구
1. 원근법 321 · 2. 순수기하학 325 · 3. 대수학 328 · 4. 삼각법 330 · 5. 르네상스 시대의 주요 과학 발전 334 · 6. 르네상스 시대에 대한 촌평 344

13장　16세기와 17세기의 산술과 대수학
1. 서론
349 · 2. 수 체계와 산술의 상황 350 · 3. 기호 체계 361 · 4. 삼차방정식과 사차방정식의 해법 367 · 5. 방정식 이론 378 · 6. 이항정리 및 관련 주제 382 · 7. 정수론 384 · 8. 대수학과 기하학의 관계 392

14장　사영기하학의 시작
1. 기하학의 부활 401 · 2. 원근법 연구에서 제기된 문제들 403 · 3. 데자르그의 연구 405 · 4. 파스칼과 라 이르의 연구 414 · 5. 새로운 원리의 출현 419

15장　좌표기하학
1. 좌표기하학의 연구 동기 425 · 2. 페르마의 좌표기하학 426 · 3. 르네 데카르트 428 · 4. 데카르트의 좌표기하학 연구 433 · 5. 17세기의 좌표기하학 확산 446 · 6. 좌표기하학의 중요성 453

16장　과학의 수학화
1. 서론 459 · 2. 데카르트의 과학 개념 460 · 3. 갈릴레오의 과학 방법론 462 · 4. 함수 개념 474

17장　미적분학의 탄생
1. 미적분학 연구 동기 483 · 2. 17세기 초의 미적분학 연구 485 · 3. 뉴턴의 연구 503 · 4. 라이프니츠의 연구 522 · 5. 뉴턴과 라이프니츠의 비교 534 · 6. 최초 발견자의 영예를 두고 벌어진 논란 537 · 7. 뒤이어 나온 연구 성과 538 · 8. 미적분학의 엄밀성 541

[2권]
18장　1700년경의 수학
1. 수학의 변모 553 · 2. 수학과 과학 558 · 3. 수학자들 사이의 소통 560 · 4. 18세기에 대한 전망 563

19장　18세기의 미적분학
1. 서론 565 · 2. 함수 개념 570 · 3. 적분 기법과 복소수 573 · 4. 타원적분 581 · 5. 그 밖의 특별한 함수 596 · 6. 다변수함수 미적분학 600 · 7. 미적분학에서 엄밀성을 확보하려던 시도 602

20장　무한급수
1. 서론 615 · 2. 무한급수에 대한 초기 연구 616 · 3. 함수의 확대 621 · 4. 급수의 연산 624 · 5. 삼각급수 640 · 6. 연분수 648 · 7. 수렴과 발산의 문제 649

21장　18세기의 상미분방정식
1. 동기 661 · 2. 1계 상미분방정식 665 · 3. 특이해 673 · 4. 2계 방정식과 리카티 방정식 675 · 5. 고계 방정식 683 · 6. 급수해 방법 688 · 7. 연립미분방정식 691 · 8. 요약 704

22장　18세기의 편미분방정식
1. 서론 707 · 2. 파동방정식 708 · 3. 파동방정식의 확장 725 · 4. 퍼텐셜 이론 735 · 5. 1계 편미분방정식 748 · 6. 몽주와 특성 이론 754 · 7. 몽주와 비선형 2계 방정식 758 · 8. 연립 1계 편미분방정식 760 · 9. 수학 분야로의 성장 763

23장　18세기의 해석기하학과 미분기하학
1. 서론 767 · 2. 기초 해석기하학 767 · 3. 고차 평면 곡선 771 · 4. 미분기하학의 시작 780 · 5. 평면 곡선 781 · 6. 공간 곡선 784 · 7. 곡면 이론 791 · 8. 사상 문제 802

24장　18세기의 변분법
1. 초기 문제 807 · 2. 오일러의 초기 연구 813 · 3. 최소 작용 원리 816 · 4. 라그랑주의 방법론 820 · 5. 라그랑주와 최소 작용 826 · 6. 이차 변분 829

25장　18세기의 대수학
1. 수 체계의 상태 833 · 2. 방정식 이론 840 · 3. 행렬식과 소거 이론 852 · 4. 수론 856

26장　1800년경의 수학
1. 해석학의 대두 865 · 2. 18세기 연구의 동기 868 · 3. 증명의 문제 869 · 4. 형이상학적 바탕 872 · 5. 수학 연구 활동의 확대 875 · 6. 전망 877

27장　복소수함수
1. 서론 883 · 2. 복소수함수론의 시작 883 · 3. 복소수의 기하학적 표현 887 · 4. 복소수함수 이론의 기초 891 ·
5. 바이어슈트라스의 복소수함수 이론 접근 방식 906 · 6. 타원함수 908 · 7. 초타원적분과 아벨의 정리 918 · 8. 리만과 다가함수 923 · 9. 아벨 적분과 아벨 함수 933 · 10. 등각사상 937 · 11. 함수 표현과 예외값 939

28장　19세기의 편미분방정식
1. 서론 945 · 2. 열방정식과 푸리에 급수 946 · 3. 닫힌 해-푸리에 적분 956 · 4. 퍼텐셜 방정식과 그린의 정리 959 · 5. 곡선좌표 966 · 6. 파동방정식과 축소 파동방정식 970 · 7. 연립 편미분방정식 979 · 8. 존재성 정리 983

29장　19세기의 상미분방정식
1. 서론 995 · 2. 급수 해와 특수 함수 996 · 3. 스투름 리우빌 이론 1003 · 4. 존재성 정리 1006 · 5. 특이점 이론 1011 · 6. 보형 함수 1018 · 7. 선형방정식의 주기 해에 관한 힐의 연구 1024 · 8. 비선형미분방정식-질적 이론 1026

30장　19세기의 변분법
1. 서론 1037 · 2. 수리물리학과 변분법 1037 · 3. 변분법의 수학적 확장 1045 · 4. 변분법에서의 관련 문제 1051

31장　갈루아 이론
1. 서론 1055 · 2. 이항방정식 1055 · 3. 거듭제곱근을 이용한 방정식의 해에 대한 아벨의 연구 1059 · 4. 갈루아의 가해성 이론 1060 · 5. 기하학적 작도 문제 1070 · 6. 치환군 이론 1072

32장　사원수, 벡터, 선형결합대수
1. 동등 수식 불변 위에 세운 대수학의 기초 1083 · 2. 삼차원 ‘복소수’를 찾으려는 노력 1089 · 3. 사원수의 특징 1093 · 4. 그라스만의 확대 산법 1096 · 5. 사원수에서 벡터로 1100 · 6. 선형결합대수 1110

33장　행렬식과 행렬
1. 서론 1115 · 2. 행렬식의 새로운 용도 1116 · 3. 행렬식과 이차형식 1120 · 4. 행렬 1127

[3권]
34장　19세기의 수론
1. 서론 1139 · 2. 합동 이론 1140 · 3. 대수적 수 1146 · 4. 데데킨트의 아이디얼 1152 · 5. 형식의 이론 1157 · 6. 해석적 수론 1162

35장　사영기하학의 부활
1. 기하학에 대한 관심의 재개 1169 · 2. 종합 유클리드 기하학 1173 · 3. 종합 사영기하학의 부활 1177 · 4. 대수적 사영기하학 1194 · 5. 고차 평면 곡선과 곡면 1199

36장　비유클리드 기하학
1. 서론 1207 · 2. 1800년경 유클리드 기하학의 상황 1207 · 3. 평행선 공리에 대한 연구 1209 · 4. 비유클리드 기하학의 전조 1217 · 5. 비유클리드 기하학의 창시 1220 · 6. 비유클리드 기하학의 기술적 내용 1226 · 7. 로바체프스키와 보여이가 비유클리드 기하학의 발명자인가? · 1231 · 8. 비유클리드 기하학의 의의 1234

37장　가우스와 리만의 미분기하학
1. 서론 1239 · 2. 가우스의 미분기하학 1240 · 3. 리만의 기하학 접근 방식 1248 · 4. 리만의 계승자들 1259 · 5. 미분형식의 불변량 1263

38장　사영기하학과 계량기하학
1. 서론 1269 · 2. 비유클리드 기하학 모델로서의 곡면 1270 · 3. 사영기하학과 계량기하학 1272 · 4. 모델과 무모순성 문제 1281 · 5. 변환의 관점에서 본 기하학 1286 · 6. 비유클리드 기하학의 실재성 1291

39장　대수기하학
1. 배경 1295 · 2. 대수적 불변량 이론 1296 · 3. 쌍유리변환의 개념 1306 · 4. 대수기하학에 대한 함수론적 접근 방식 1309 · 5. 균일화 정리 1314 · 6. 대수기하학적 접근 방식 1316 · 7. 산술적 접근 방식 1320 · 8. 곡면의 대수기하학 1322

40장　해석학에서 대두된 엄밀성의 문제
1. 서론 1327 · 2. 함수와 그
성질 1329 · 3. 도함수 1337 · 4. 적분 1340 · 5. 무한급수 1347 · 6. 푸리에 급수 1354 · 7. 해석학의 상태 1361

41장　실수와 초한수의 기초
1. 서론 1371 · 2. 대수적 수와 초월수 1373 · 3. 무리수 이론 1376 · 4. 유리수 이론 1382 · 5. 실수 체계를 다루는 다른 접근 방식 1386 · 6. 무한 집합의 개념 1390 · 7. 집합론의 기초 1392 · 8. 초한 기수와 초한 서수 1399 · 9. 1900년까지 집합론의 상황 1404

42장　기하학의 기초
1. 유클리드 기하학의 결함 1409 · 2. 사영기하학 기초에 대한 연구 1412 · 3. 유클리드 기하학의 기초 1415 · 4. 관련 기초 연구 1423 · 5. 미해결 문제 1425

43장　1900년경의 수학
1. 19세기 발전의 주요 특징 1433 · 2. 공리화 운동 1438 · 3. 인간의 고안물인 수학 1440 · 4. 진리의 상실 1445 · 5. 임의의 구조를 연구하는 분야로서 수학 1451 · 6. 무모순성의 문제 1455 · 7. 전망 1456

44장　실변수 함수 이론
1. 기원 1459 · 2. 스틸체스 적분 1460 · 3. 용량과 측도에 관한 초기 연구 1461 · 4. 르베그 적분 1465 · 5. 일반화 1473

45장　적분방정식
1. 서론 1475 · 2. 일반 이론의 시작 1481 · 3. 힐베르트의 연구 1487 · 4. 힐베르트를 뒤이은 수학자들 1500 · 5. 이론의 확장 1505

46장　함수해석학
1. 함수해석학의 본질 1509 · 2. 범함수 이론 1510 · 3. 선형 함수해석학 1517 · 4. 힐베르트 공간의 공리화 1531

47장　발산급수
1. 서론 1537 · 2. 발산급수의 비공식적 사용 1539 · 3. 점근급수의 이론 1547 · 4. 가합 1555

48장　텐서 해석학과 미분기하학
1. 텐서 해석학의 기원 1573 · 2. 텐서의 개념 1574 · 3. 공변 미분 1580 · 4. 평행이동 1584 · 5. 리만 기하학의 일반화 1588

49장　추상 대수학의 출현
1. 19세기 배경 1593 · 2. 추상군론 1594 · 3. 체의 추상 이론 1606 · 4. 환 1612 · 5. 비결합 대수 1617 · 6. 추상 대수학의 범위 1620

50장　위상수학의 시작
1. 위상수학의 특징 1623 · 2. 점집합 위상수학 1624 · 3. 조합위상수학의 시작 1630 · 4. 푸앵카레의 조합위상수학 연구 1639 · 5. 조합적 불변량 1648 · 6. 고정점 정리 1649 · 7. 일반화와 확장 1652

51장　수학의 기초
1. 서론 1657 · 2. 집합론의 역설 1658 · 3. 집합론의 공리화 1661 · 4. 수리논리학의 출현 1664 · 5. 논리주의 학파 1671 · 6. 직관주의 학파 1678 · 7. 형식주의 학파 1688 · 8. 최근의 연구 1695

약어 · a-i
찾아보기(인명) · a-v
찾아보기(용어) · a-xiii